[論文レビュー] An example of a differentiability space which is PI-unrectifiable

Andrea Schioppa|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、PI-可縮でないリプシッツ微分可能空間を構成する。これは、正の測度を持つポincare不等式（PI）空間の部分集合に可算個に分解できないことを意味する。この空間はほとんどすべての点で非連結な接空間を持つが、それでも実数値およびヒルベルト空間値のリプシッツ関数はほとんど everywhere で微分可能であり、微分可能性のためにはPoincaré不等式が必須でないことを示している。

ABSTRACT

We construct a (Lipschitz) differentiability space which has at generic points a disconnected tangent and thus does not contain positive measure subsets isometric to positive measure subsets of spaces admitting a Poincaré inequality. We also prove that $l^2$-valued Lipschitz maps are differentiable a.e., but there are also Lipschitz maps taking values in some other Banach spaces having the Radon-Nikodym property which fail to be differentiable on sets of positive measure.

研究の動機と目的

• すべての微分可能空間がPI-可縮であるという予想（すなわち、PI空間の正の測度を持つ部分集合の可算個の和に分解可能であるという予想）を反証すること。
• リプシッツ関数が $l^2$ に値をとる空間において、PI空間に等長写像をもつ部分集合を一切持たないが、$l^2$-値リプシッツ関数がμ-a.e.で微分可能であるような測度付き距離空間を構成すること。
• ほとんどすべての点で非連結な接空間を有するため、空間がPI-可縮でないことを示すこと。PI空間は既知の擬似凸性（quasi-convexity）を有するため、連結である。
• ヒルベルト空間値関数のラデマッハ型微分可能性がPI-可縮性を意味しないことの証明を通じて、測度付き距離空間における1階微分積分学においてPoincaré不等式の必要性を疑問視すること。

提案手法

• 空間 $X_{∞}$ は、各々が3次元細胞を2重化してダイヤモンド型構造を形成する測度付き距離空間の列の逆極限として構成される。
• 経路距離を「圧縮」することで、各2重化細胞の中心を操作し、ほとんどすべての点における接空間の位相的連結性を破壊する。
• 微分可能性の証明には関数的アプローチを用いる。$l^2$-値リプシッツ関数が、環境距離よりも速く2つの細胞中心間の距離を収縮させることを、偏微分方程式に基づく収縮論法により示す。
• 証明は重み付き対称化技術と調和関数エネルギー推定（補題5.1）に依存しており、アニュラリ領域における勾配の $L^2$ ノルムの下界を保証する。
• 「悪い立方体」条件を定義し、関数が十分にゲートを収縮させない立方体を特定する。その測度は、関数のリプシッツ定数にのみ依存する普遍定数によって制御される。
• パス接続性が欠如しているため、中間値定理の修正版を用いて、ほとんどすべての点において、関数の振動がスケールにおいて勾配に対して消えることを示し、微分可能性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き距離空間における実数値およびヒルベルト空間値リプシッツ関数のほとんど everywhere での微分可能性に、Poincaré不等式は必要か？
• RQ2 PI空間に等長写像をもつ正の測度部分集合を含まない微分可能空間（PI-可縮でない空間）は存在するか？
• RQ3 接空間の連結性といった構造的性質は、空間がラデマッハ型微分可能性定理を満たすために必要か？
• RQ4 現在の構成が解析次元3であるが、このような微分可能空間の解析次元を3未満にまで低下させることは可能か？
• RQ5 あるバナッハ空間値関数がa.e.で微分可能でない空間において、$l^1$-および $l^2$-値関数の微分可能性の関係は何か？

主な発見

• 構成された空間 $(X_{∞}, \mu_{∞})$ は、すべての $l^2$-値リプシッツ関数が $\mu_{∞}$-a.e. で微分可能な微分可能空間である。
• 空間は $\mu_{∞}$-a.e. の点で接空間が位相的に非連結であるため、PI-可縮でない。PI空間は既知の擬似凸性を有するため、連結である。
• $l^2$-値関数の微分可能性は、調和関数エネルギー推定に基づく収縮論法により確立され、関数は環境距離よりも速く2つの細胞中心間の距離を収縮させなければならないことが示された。
• 関数が十分にゲートを収縮させない「悪い立方体」の測度は、関数のリプシッツ定数にのみ依存する形で一様に有界であり、$\varepsilon$ に依存しない。
• 空間の解析次元は3であり、理論的にはこれを1にまで低下させられると予想されるが、現在の構成ではアッソウド＝ナガタ次元が3である。
• 本結果により、リプシッツ関数のリップ・リップ不等式（微分可能性を含意する）がPI-可縮性を含意しないことが示され、すべての微分可能空間がPI-可縮であるという予想が反証された。