[論文レビュー] An example of a quantum statistical model which cannot be mapped to a less informative one by any trace preserving positive map

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

advanced mathematical theories参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、古典的意思決定理論におけるもう一つのモデルよりも情報量が多いが、いかなるトレース保存正マップを用いてもその変換が不可能な量子統計モデルを提示している。これは、量子十分性（≥ᶜ）が、対応する物理的チャネルの存在を示さないことを示している。主な貢献は、物理的チャネルに相当するマップが存在しないにもかかわらず、量子統計モデルが厳密に情報量が多いことを示す反例の構築である。

ABSTRACT

Comparison of statistical models (experiments) is an important branch of mathematical statistics, which gives deep insights in many aspects of foundation of statistics. So far, there are two quantum versions of the concept: Comparison with respect to classical tasks and full quantum tasks. In the latter version, a quantum statistical model is more informative than another if and only if a trace preserving positive map sends the former to the latter. On the other hand, in the former version, the existence of a trace preserving positive map sending the former to the latter is a useful sufficient condition. A natural question is whether this is necessary or not. We resolve this question negatively by giving a counter example.

研究の動機と目的

• 量子統計的十分性（≥ᶜ）が、あるモデルを別のモデルに変換するトレース保存正マップの存在を示すかを調査すること。
• ≥ᶜがこのようなマップの存在と同値であるという予想に反する反例を構築することで、その予想を疑うこと。
• 正マップによる物理的実装可能性と、量子情報理論的十分性の違いを明確にすること。
• 物理的変換に対応するものが存在しないにもかかわらず、量子モデルが厳密に情報量が多いことを示すこと。

提案手法

• 3次元ヒルベルト空間におけるΘ = {0, 1} と密度行列ρ₀, ρ₁, σ₀, σ₁をもつ2パラメータの量子統計モデルを構築する。
• ρ₀とρ₁をパラメータα ∈ [0,1] を用いて対角行列として定義し、それらの作用素の部分空間に共通の固有状態|2⟩を有する。
• σ₀とσ₁をパラメータβ ≤ α を用いて2次元部分空間におけるランク2の密度行列として定義する。
• すべてのt ≥ 0に対して‖ρ₀ − tρ₁‖₁ ≥ ‖σ₀ − tσ₁‖₁ を満たすことで、補題1を用いて≥ᶜを確認する。
• ρ₀とρ₁が共に|2⟩ = (0,0,1)ᵀ をその作用素の部分空間に共有しているため、Γ(ρ₀) = σ₀ かつ Γ(ρ₁) = σ₁ を満たすトレース保存正マップΓが存在しないことを証明する。
• 初等的な解析を用いて、すべてのt ≥ 0に対してf(t) = ‖ρ₀ − tρ₁‖₁² − ‖σ₀ − tσ₁‖₁² ≥ 0 が成り立つことを示し、トレースノルム不等式を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子十分性（≥ᶜ）は、あるモデルを別のモデルに変換するトレース保存正マップの存在を示すか？
• RQ2 物理的変換に対応するものが存在しないにもかかわらず、量子統計モデルがもう一つのモデルよりも厳密に情報量が多いことは可能か？
• RQ3 量子設定において、≥ᶜが成立するためには正マップの存在が必要か？
• RQ4 密度演算子のモデルに純粋状態の共通部分空間が存在する場合、その影響がこのようなマップの存在を妨げる役割を果たすか？
• RQ5 すべてのt ≥ 0に対して‖ρ₀ − tρ₁‖₁ ≥ ‖σ₀ − tσ₁‖₁ が成り立つ場合でさえ、正マップが存在しない場合に、≥ᶜを保証できるか？

主な発見

• モデルはすべてのt ≥ 0に対して、補題1により≥ᶜを示すトレースノルム条件‖ρ₀ − tρ₁‖₁ ≥ ‖σ₀ − tσ₁‖₁ を満たす。
• ≥ᶜを満たしているにもかかわらず、Γ(ρ₀) = σ₀ かつ Γ(ρ₁) = σ₁ を満たすトレース保存正マップΓは存在しない。
• その不可能性は、ρ₀とρ₁が共に|2⟩ = (0,0,1)ᵀ をその作用素の部分空間に共有しているため生じ、Γ(ρ₀) = σ₀ かつ Γ(ρ₁) = σ₁ が整合不能になる。
• すべてのt ≥ 0に対してf(t) = ‖ρ₀ − tρ₁‖₁² − ‖σ₀ − tσ₁‖₁² が非負であることが示され、トレースノルム不等式が確認された。
• この結果は、量子十分性（≥ᶜ）が、物理的チャネル（正のトレース保存マップ）によるモデル変換の存在を示さないことを示している。
• これは、≥ᶜがこのようなマップの存在と同値であるという予想に対する決定的な反例を提供する。