[論文レビュー] An example of an almost greedy uniformly bounded orthonormal basis for $L_p([0,1])$

Morten Nielsen|ArXiv.org|Nov 28, 2006

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$L_p([0,1])$, $1<p<\infty$ に対して、一様有界で正規直交基底を構成し、それがほぼグリーディーであることを示している。これにより、Orliczの定理（$L_p$, $p\neq2$ に対して一様有界な unconditional 基底が存在しない）が、より広いクラスのほぼグリーディー基底へと拡張されないことが明らかになる。構成法は、ブロック構造を持ち、正規化されたハール型関数を用いた変更されたラデマッハ型系に依拠し、ケンチンヒェの不等式と民主的性質を用いて、準グリーディー収束を保証している。

ABSTRACT

We construct a uniformly bounded orthonormal almost greedy basis for $L_p([0,1])$, $1

研究の動機と目的

• $L_p([0,1])$, $1<p<\infty$ に対して、一様有界で正規直交的かつほぼグリーディーな基底を構成することで、オルリーツの定理がこのクラスの基底へと拡張可能かどうかを検証する。
• $p\neq2$ の $L_p$ に対して、一様有界な正規直交基底が非-unconditional であるにもかかわらず、準グリーディーやほぼグリーディーである可能性を示す。
• $L_p$ 内で、民主的かつ一様有界で正規直交的な系の具体例を提供し、収束するグリーディー近似を可能にする。
• 三角関数系やウォルシュ系といった古典的系が準グリーディーでないことは、$L_p$ 内にこのような基底が存在しないことを意味しないことの証明。

提案手法

• ハール関数とラデマッハ型関数に基づくブロック構造を持つ正規直交系を用い、$L_p$-有界性に適合するように正規化を行う。
• 基底は、係数 $\langle f, \psi_j^{(k)} \rangle$ を用いて得られる正規化されたブロック関数 $\phi_k / \sqrt{N_k}$ を組み合わせることで構成される。
• ケンチンヒェの不等式を用いて、ラデマッハ関数を含む確率的和の $L_p$-ノルムを制御し、民主的性質を保証する。
• 同じサイズの集合における部分和の $\ell_p$-ノルムの均一な有界性を示すことにより、系が民主的であることを証明する。係数の減衰とブロック構造の性質を用いた推定を用いる。
• グリーディー法の収束を、近似誤差を三つの部分 $T$, $T'$, $T''$ に分解することで確立する。各部分が再配列の下で $L_p$ 内で収束することを示す。
• 双対性を用いる：$1<q<2$ に対して $1/p + 1/q = 1$ と選び、bi-民主的性質を用いて、準グリーディー収束を $L_q$ へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_p([0,1])$, $1<p<\infty$, $p\neq2$ に対して、一様有界な正規直交基底が、非-unconditional であるにもかかわらず、ほぼグリーディーである可能性はあるか？
• RQ2 オルリーツの定理（$p\neq2$ の $L_p$ に一様有界な unconditional 基底が存在しない）は、ほぼグリーディー基底のクラスへと拡張可能か？
• RQ3 民主的で一様有界な正規直交系が $L_p$ 内で収束するグリーディー近似を可能にするか？
• RQ4 $L_p$-ノルムを制御できるように変更されたラデマッハまたはハール系を用いて、このような基底を構成可能か？

主な発見

• $L_p([0,1])$, $1<p<\infty$ に対して、一様有界で正規直交的かつほぼグリーディーな基底が存在し、これはオルリーツの定理の潜在的な拡張を直接反証する。
• 同じサイズの集合における部分和の $\ell_p$-ノルムの均一有界性により、構成された基底が民主的であることが示された。
• グリーディー近似アルゴリズムは、すべての $f \in L_p$ に対して $L_p$ 内で収束し、基底が準グリーディーであることが保証された。
• 収束は、三つの部分 $T$, $T'$, $T''$ に分解することで証明され、それぞれが $L_p$ 内で絶対的または条件付きに収束することが示された。
• 系は $L_p$ および $L_q$（$1<q<2$, $1/p + 1/q = 1$）で双対民主的であり、準グリーディー収束を $L_q$ へと拡張可能である。
• $N_k$ 個の要素を1ブロックに持つブロック構造を持つ系が用いられ、$N_k$ が急速に増加することで、係数の減衰と民主的性質が保証された。