[論文レビュー] An example of compact Kähler manifold with nonnegative quadratic bisectional curvature

Qun Li, Damin Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、第二ベッチ数が1である7次元コンpakトなカーラーC空間を構成し、その標準的カーラー・アインシュタイン計量が非負の2次二重点曲率（QB ≥ 0）を持つが、非負の直交二重点曲率（B⊥ ≥ 0）を持ついかなるカーラー計量とも同型でないことを示している。これは、次元が3以上である場合に、QB ≥ 0 と B⊥ ≥ 0 という曲率条件の間には代数的・幾何的に厳密な差異が存在することを示す、最初の明示的例である。

ABSTRACT

We construct a compact Kähler manifold of nonnegative quadratic bisectional curvature, which does not admit any Kähler metric of nonnegative orthogonal bisectional curvature. The manifold is a 7-dimensional Kähler C-space with second Betti number equal to 1, and its canonical metric is a Kähler-Einstein metric of positive scalar curvature

研究の動機と目的

• コンパクトカーラー多様体で、非負の2次二重点曲率（QB ≥ 0）を満たすが、非負の直交二重点曲率（B⊥ ≥ 0）を持ついかなるカーラー計量とも同型でないものを構成すること。
• 次元 n ≥ 3 において、QB ≥ 0 が B⊥ ≥ 0 よりも厳密に弱いかつ、代数的階層関係が成り立つにもかかわらず、QB ≥ 0 が B⊥ ≥ 0 を含まない明確な反例を提示すること。
• 第二ベッチ数 b₂ = 1 で非ヘルミート的対称構造をもつある種のカーラーC空間が、QB ≥ 0 を満たす可能性があるという予想を検証すること。
• 7次元カーラーC空間 (B₃, α₂) に対して、明示的な計算により QB ≥ 0 が成り立つことを示し、一般化されたフラーゲル＝ハーツホーン理論における曲率条件のテストケースとしての役割を確認すること。
• Fano多様体および数的に有効な接バンドルをもつカーラーC空間の分類に対する、QB ≥ 0 の微分幾何的意味を明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、第二ベッチ数が1で、スケーリングを除いて一意なカーラー・アインシュタイン計量をもつ、同調的カーラー多様体である7次元カーラーC空間 (B₃, α₂) の曲率テンソルを分析する。
• 曲率テンソル成分 P_{1iar{1j}}, P_{1iar{2j}}, P_{2iar{2j}} から導かれる行列 A, B, C を用いて、2次二重点曲率を計算する。
• QB ≥ 0 に関連する2次形式 Φ は、Φ₁ と Φ₂ に分解され、Φ₁ はさらに行列成分に基づいて Φ₁′ と Φ₁′′ に分割される。
• Φ₂ の非負性は、不等式 ⟨B, B*⟩ ≥ −|B|² と |tr B|² ≤ 3|B|² を用いて示され、Φ₂ ≥ (8 − 1 − 6)|B|² = |B|² ≥ 0 が得られる。
• Φ₁′′ については、6×6 の対称行列 D を用いて (a,c)D^t(a,c) の形の2次形式として表現され、D は単位行列、全1行列、置換行列を含む G と H の行列から構成される。
• 直交行列 T を用いた基底変換により、関連する行列が対角化され、G − HG⁻¹H ≥ 0 が確認され、これにより Φ₁′′ ≥ 0 が示され、結局 Φ ≥ 0 が得られ、QB ≥ 0 が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 n ≥ 3 のコンパクトカーラー多様体で、どこでも QB ≥ 0 を満たすが、どこでも B⊥ ≥ 0 を満たすカーラー計量をもたないものは存在するか？
• RQ2 第二ベッチ数 b₂ = 1 で非ヘルミート的対称構造をもつカーラーC空間が、QB ≥ 0 を満たすカーラー計量をもつ可能性はあるか？
• RQ3 代数的にも幾何的にも、QB ≥ 0 が曲率正則性の意味で B⊥ ≥ 0 よりも厳密に弱いかどうか？
• RQ4 QB ≥ 0 が、b₂ = 1 のカーラーC空間への双正則同型を示すという予想が、特定の例について検証可能か？
• RQ5 非対称カーラーC空間における2次二重点曲率形式の正確な代数的構造は何か？

主な発見

• 7次元カーラーC空間 (B₃, α₂) は、非負の2次二重点曲率（QB ≥ 0）を持つ標準的カーラー・アインシュタイン計量をもつ。
• この多様体は、QB ≥ 0 であっても、非負の直交二重点曲率（B⊥ ≥ 0）を持ついかなるカーラー計量とも同型でない。
• 曲率計算により、QB ≥ 0 に関連する2次形式 Φ が非負であることが確認され、Φ₂ ≥ |B|² ≥ 0 かつ Φ₁′′ ≥ 0 が行列 D の固有値解析により示された。
• 直交変換の後、行列 G − HG⁻¹H が非負定値であることが示され、重要な2次形式 Φ₁′′ の非負性が裏付けられた。
• 全曲率形式 Φ は成分ごとの分析と行列の対角化により分解され、非負であることが示され、多様体における QB ≥ 0 が確立された。
• この例は、次元が高次である場合に QB ≥ 0 が B⊥ ≥ 0 よりも厳密に弱いかつ、QB ≥ 0 が B⊥ ≥ 0 を含むという考えに反する反例を提供している。