[論文レビュー] An example of limit of Lempert Functions

Pascal J. Thomas|ArXiv.org|Jan 26, 2006

Meromorphic and Entire Functions参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℂ²における双ディスク上での3つの極が原点に一致する際に、Lempert関数の極限的挙動を調査する。解析的ディスクの構成と、Schwarzの補題および複素幾何学に基づく推定を用いて、極限の鋭い上界と下界を確立し、異なる領域で極限が2log|z|と(3/2)log|z|の間にあることを示し、既知のGreen関数推定を改善する。

ABSTRACT

The Lempert function for several poles $a_0, ..., a_N$ in a domain $Ω$ of $\mathbb C^n$ is defined at the point $z \in Ω$ as the infimum of $\sum^N_{j=0} \log|ζ_j|$ over all the choices of points $ζ_j$ in the unit disk so that one can find a holomorphic mapping from the disk to the domain $Ω$ sending 0 to $z$. This is always larger than the pluricomplex Green function for the same set of poles, and in general different. Here we look at the asymptotic behavior of the Lempert function for three poles in the bidisk (the origin and one on each axis) as they all tend to the origin. The limit of the Lempert functions (if it exists) exhibits the following behavior: along all complex lines going through the origin, it decreases like $(3/2) \log |z|$, except along three exceptional directions, where it decreases like $2 \log |z|$. The (possible) limit of the corresponding Green functions is not known, and this gives an upper bound for it.

研究の動機と目的

• ℂ²における3つの極が原点に一致する場合のLempert関数の正確な漸近的挙動を理解すること。
• 既存のGreen関数推定より tightly にLempert関数の極限を束縛できるかを特定すること。
• 極および評価点を通過する明示的な解析的ディスクを構成し、Lempert関数を推定すること。
• 原点回りの異なる角領域におけるLempert関数の極限の鋭い上界および下界を確立すること。
• 集中した極の極限における多複素変数Green関数に関する既知の不等式を改善すること。

提案手法

• 点ζjが極a0, a1, a2に写像されるように、φ: 𝔻 → 𝔻² なる一価正則写像の族を構成する。
• 複素変数ζ0, ζ1, ζ2および補助パラメータγ, μを用いたパrametrizationにより、φによるディスク像の制御を行う。
• Schwarzの補題および擬似双曲的距離の推定を適用し、Lempert関数を定義するlog|ζj|の和を束縛する。
• ε1, ε2（極の位置）に幾何的制約を課し、構成された写像が双ディスク内にあり、必要な補間条件を満たすようにする。
• |wj|および|wj − wk|の推定を用いて、構成された写像がLempert関数の下界を定義するのに必要な条件を満たすことを検証する。
• ε1, ε2 → 0 の漸近的解析に依拠し、特にε1/ε2の比およびz1/z2の角条件に注意を払う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ²における3つの極が原点に一致する場合のLempert関数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 既知のGreen関数推定より、Lempert関数の極限をより tightly に束縛できるか？
• RQ3 比ε1/ε2がどのような条件下で、Lempert関数の極限が(3/2)log|z|に近づくか？
• RQ4 zが座標軸上または直線z1 + z2 = 0上にあるとき、Lempert関数は2log|z|より上に有界であるか？
• RQ5 軸から離れた角領域において、(3/2)log|z|はLempert関数の極限に対する鋭い境界か？

主な発見

• ε1 = ε2 = εのとき、座標軸上または直線z1 + z2 = 0上では、Lempert関数のlimsupは2log|z| + Cで上界が与えられる。
• c0 ≤ |z1/z2| ≤ c0⁻¹ かつ |1 + z1/z2| ≥ c0 を満たす錐領域内では、Lempert関数のliminfは(3/2)log|z| − Cで下界が与えられる。
• 追加条件ε1²/ε2 → 0 および ε2²/ε1 → 0 を満たすとき、Lempert関数のlimsupは(3/2)log|z| + Cで上界が与えられる。
• |z2|² < |z1| < |z2|¹ᐟ² を満たす領域では、Lempert関数の極限は2log|z|より厳密に小さいため、従来のGreen関数の境界を改善する。
• (3/2)log|z|は鋭い境界であり、近い将来のMagnussonおよびSigurdssonとの共同作業により、これ以上改善できないことが確認されている。
• Lempert関数は擬補調和関数に収束しないため、極限においてGreen関数と等しくないことが示される。