[論文レビュー] An Example of non-quenched Convergence in the Conditional CLT for Discrete Fourier Transforms

David Barrera|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

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ひとこと要約

本稿は、定常過程において初期σ-代数への直交射影を施さない限り、離散フーリエ変換のクエンチド中心極限定理（CLT）が一般に成り立たないことを示している。既知のクエンチドCLTの条件を満たしても、条件付き期待値 $ E_0 S_n(\theta) $ が $ \sqrt{n} $ に対して無限大に発散する例が構成され、アンナイルド収束は成立するがクエンチド収束は成立しないことが示された。

ABSTRACT

A recent result by Barrera and Peligrad shows that the quenched Central Limit Theorem holds for the discrete Fourier transforms (DFT) of a stationary process in $L^2$ if a "random" centering is used. In this note we show that this is a necessary condition by providing an example of a process satisfying the hypothesis of such theorem for which the DFT, without random centering, do not satisfy a quenched limit theorem. The DFT of this process, by previous results by Peligrad and Wu, satisfy the corresponding CLT in the annealed sense.

研究の動機と目的

• 初期σ-代数への直交射影なしに、離散フーリエ変換のクエンチドCLTが成立するかどうかを調査すること。
• 先行研究で知られているアンナイルド収束結果が、同じ設定でクエンチド収束を意味するかどうかを特定すること。
• 既知のクエンチドCLTの仮定を満たすが、射影を施さないフーリエ変換ではクエンチドCLTが成立しない反例を構成すること。
• クエンチド収束を保証するための直交射影の役割を明確にすること。

提案手法

• ボルニーとウッドルーフの手法を用いて、特定の混合性および依存構造を持つ定常過程を構成し、反例を生成すること。
• 離散フーリエ変換 $ S_n(\theta) = \sum_{k=0}^{n-1} e^{ik\theta} X_k $ を $ \theta \in (0,2\pi) $ に対して定義し、その条件付き期待値 $ E_0 S_n(\theta) $ を分析すること。
• マルティングール近似技術および線形過程の性質を用いて、$ \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} $ の漸近的挙動を分析すること。
• ボレル＝カンテリの補題およびモーメント評価を用いて、$ \limsup_{n} \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} = \infty \ \mathbb{P}\text{-a.s.} $ を示し、クエンチド収束が破綻することを示すこと。
• 型の収束定理および条件付き期待値の性質を活用して、退化した極限定理の可能性を除外すること。
• アンナイルド収束が成立する一方で、ほとんど確実に任意の $ \omega $ に対して、$ \frac{1}{\sqrt{n}} S_n(\theta) $ の条件付き分布が弱収束しないことを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期σ-代数への直交射影なしに、離散フーリエ変換のクエンチドCLTが成立するか？
• RQ2 バーラとペリグレードのクエンチドCLTの仮定を満たすプロセスであっても、射影を施さないフーリエ変換ではクエンチド収束が成立しないことがあるか？
• RQ3 クエンチドCLTの仮定を満たす定常過程において、$ \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} $ の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 アンナイルド収束が成立する場合でも、直交射影がないとクエンチド収束に根本的な障害があるか？
• RQ5 条件付き期待値 $ E_0 S_n(\theta) $ が $ \sqrt{n} $ より速く増大し、クエンチド収束を妨げるような状況は存在するか？

主な発見

• 本稿は、[1]の定理1の仮定を満たす定常過程を構成した。具体的には、正則な条件付き期待値および初期σ-代数に対する $ L^2 $-直交性を満たしている。
• この過程に対して、$ \limsup_{n} \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} = \infty \ \mathbb{P}\text{-a.s.} $ が成り立つ。これは、射影を施さないフーリア変換のクエンチドCLTが成立しないことを示唆する。
• クエンチド収束の失敗は、$ \sqrt{n} $ に対して条件付き期待値が無限大に発散するためであり、アンナイルドCLTは成立している。
• 反例は、係数 $ a_k $ およびブロックサイズ $ n_k $ を巧みに選択することで、条件付き期待値の項が正規化に優位するように構成されている。
• この結果から、離散フーリエ変換のCLTにおけるクエンチド収束を保証するには直交射影が不可欠であることが示された。
• 分析により、アンナイルド収束だけではクエンチド収束が導かれないことが確認された。これは、強い混合性および正則性仮定のもとでも同様に成立する。