[論文レビュー] An example of non-uniqueness for Radon transforms with continuous positive rotation invariant weights

Fedor Goncharov, Roman Novikov|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^3$ 内で連続的で厳密に正であり、回転対称性を持つ重みを備えた最初の既知の重み付きラドン変換の例を構築する。この重み付き変換は非一意的である — つまり、無限に滑らかで_compactly supported な関数空間において、自明でない核を有する。この例は、このような変換における非一意性を示し、重み関数の強い滑らかさ仮定が必要かどうかという長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We consider weighted Radon transforms $R_W$ along hyperplanes in $R^3$ with strictly positive weights $W$. We construct an example of such a transform with non-trivial kernel $\\mathrm{Ker}R_W$ in the space of infinitely smooth compactly supported functions and with continuous weight. Moreover, in this example the weight $W$ is rotation invariant. In particular, by this result we continue studies of Quinto (1983), Markoe, Quinto (1985), Boman (1993) and Goncharov, Novikov (2017). We also extend our example to the case of weighted Radon transforms along two-dimensional planes in $R^d$ , $d \\geq 3$.

研究の動機と目的

• 連続的で厳密に正であり、回転対称性を持つ重みを備えた $\mathbb{R}^3$ 内の重み付きラドン変換を構築すること。
• この非一意性の例を、$d > 3$ の $\mathbb{R}^d$ 内の2次元平面に沿った重み付きラドン変換へと拡張すること。
• 重み関数の連続性と正値性が、非一意性の保証に十分であるかどうかという未解決問題を解決すること。すなわち、それらが十分でないことを示すこと。
• ボーマン（1993年）およびゴンチャロフ＝ノヴィコフ（2017年）の先行反例を改善すること。これらは連続性や回転対称性を欠いていた。
• 重み関数が $C^1$ やそれ以上の滑らかさを必要とすることを示す反例を提供すること。これは、連続性と正値性の下でも、非一意性が生じ得ることを示唆する。

提案手法

• すべての超平面で恒等的にゼロとなるような、非自明で球対称であり、無限に滑らかで_compactly supported な関数 $f \in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$ を構築する。
• 重み $W(x,\theta)$ を $W(x,\theta) = U(|x - (x\cdot\theta)\theta|, x\cdot\theta)$ により定義し、$U$ を連続的かつ正値とする。この定義により重みは回転対称性を有する。
• 単位球面付近に台を持つ関数列 $f_k$ を用意し、その振動構造を調整して超平面に沿った積分が相殺されるようにする。
• フーリエ解析と振動積分の推定を用いて、重み付き変換がすべての超平面で恒等的にゼロであることを示す。
• 停留化法と部分積分を用いて、変換における誤差項を評価し、任意の多項式よりも速く減衰することを保証する。
• この構成を $d > 3$ 次元空間へと拡張し、2次元平面に沿った変換を適用することで、過決定な設定下でも非一意性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的で厳密に正であり、回転対称性を持つ重みを備えた $\mathbb{R}^3$ 内の重み付きラドン変換が、自明でない核を有する可能性はあるか？
• RQ2 重み関数の連続性が、ラドン変換の非一意性を保証するのに十分であるのか。正値性と回転対称性が満たされている場合でも。
• RQ3 重み付きラドン変換における非一意性現象は、2次元平面に沿った変換を伴う高次元空間へと拡張可能か？
• RQ4 重み関数の滑らかさが連続性を超えて欠落している場合（$C^1$ よりも低い）、回転対称性が保たれても非一意性が生じ得るか？
• RQ5 ラドン変換の非一意性を回避するための重み関数の最小限の正則性条件は何か？

主な発見

• 本論文は、$\mathbb{R}^3$ 内で連続的で厳密に正であり、回転対称性を持つ重み $W$ を構築し、重み付きラドン変換 $R_W$ が $C_0^\infty(\mathbb{R}^3)$ 内に自明でない核を有することを示した。
• 自明でない核には、非ゼロで球対称であり、無限に滑らかで_compactly supported な関数 $f$ が含まれ、$R_W f \equiv 0$ を満たす。
• 重み $W$ はすべての点で連続的であり、$W \geq c > 0$ を満たすが、変換は依然として非一意的である。
• この例は回転対称性を有しており、ボーマン（1993年）およびゴンチャロフ＝ノヴィコフ（2017年）の先行反例に比べ、大きな改善である。これらは回転対称性を欠いていた。
• この構成は、$d > 3$ の $\mathbb{R}^d$ 内の2次元平面に沿った重み付きラドン変換へと拡張され、過決定な設定下でも $R_W^{d,2} f \equiv 0$ となることが示された。
• この手法は、精密な振動積分推定と減衰評価に依拠しており、重み付き積分におけるキャンセル効果により、変換が一様にゼロに収束することを示している。