[論文レビュー] An example of one-dimensional phase transition

U. A. Rozikov|ArXiv.org|Jun 29, 2006

advanced mathematical theories参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限範囲の相互作用を持つ一次元スピン系において、通常は相転移が発生しないとされるにもかかわらず、最近接相互作用を持つ一次元スピン系が相転移を示す条件を確立している。$ I_n \geq |n| $ である場合、十分に低温（大きな $ \beta $）では複数のギブス測度が存在し、非一意な無限体積極限によって相転移が示されることが証明されている。

ABSTRACT

In the paper a one-dimensional model with nearest - neighbor interactions $I_n, n\in \Z$ and spin values $\pm 1$ is considered. We describe a condition on parametres $I_n$ under which the phase transition occurs. In particular, we show that the phase transition occurs if $I_n\geq |n|, n\in \Z.$

研究の動機と目的

• 一次元イジング型モデルにおける最近接相互作用強度 $ I_n $ に対して、相転移を引き起こす条件を特定すること。
• 有限範囲の相互作用を持つ一次元系には相転移が生じないという古典的結果に挑戦すること。
• 無限大（マイナス無限大）の相互作用を必要としない実数値 $ I_n \in \mathbb{R} $ を有するモデルを構築すること。
• 特定の $ I_n $ の成長条件の下で、低温における複数のギブス測度の存在を証明すること。

提案手法

• スピンのドメインウォールにおけるエネルギーコストをモデル化するため、ハミルトニアン $ H(\sigma) = \sum_{x \in \mathbb{Z}} I_x \mathbf{1}_{\sigma(x-1) \neq \sigma(x)} $ を定義する。
• 有限区間 $ \Lambda_n = [-n,n] $ の外で $ \sigma^{(+)}_n \equiv +1 $ となる境界条件を用いて、有限体積ギブス測度 $ \mu^{+}_{n,\beta} $ を定義する。
• スピンクラスタ $ B $ のサイズ $ r $ における確率の上界を、$ B $ 内のすべてのスピンを +1 に反転させる写像 $ \chi_B $ を用いて得る。その結果、$ p^+_{\beta}(B) \leq \exp\big(-\beta(I_{n_B} + I_{N_B+1})\big) $ が得られる。
• すべての $ r \geq 1 $ に対して $ I_n + I_{n+r} \geq r $ が成り立つ条件を導入し、低温における大きなクラスタの指数的抑制を保証する。
• この条件下で、原点のスピンが -1 である確率が $ \beta \to \infty $ のとき 0 に近づくことを証明し、無限体積極限の非一意性を示す。
• 対称性を用いて、$ + $ および $ - $ の境界条件における極限が異なることを示し、少なくとも2つの異なるギブス測度の存在を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最近接相互作用強度 $ I_n $ に対してどのような条件下で、一次元系が最近接相互作用を有する場合に相転移を示すことができるか？
• RQ2 無限大（マイナス無限大）の相互作用定数を必要としない一次元モデルでも、相転移が発生する可能性はあるか？
• RQ3 有限の実数値 $ I_n $ を有する一次元スピン系で、複数のギブス測度を支持できるモデルを構築することは可能か？
• RQ4 $ I_n $ の成長率は、このようなモデルにおける相転移の存在にどのように影響するか？

主な発見

• $ I_n \geq |n| $ がすべての $ n \in \mathbb{Z} $ に対して成り立つ場合、すべての $ r \geq 1 $ に対して $ I_n + I_{n+r} \geq r $ を満たすため、低温における相転移が保証される。
• 十分に大きな $ \beta $ に対して、$ + $-境界条件の下で原点のスピンが -1 である確率は 0 に近づき、$ + $-相への偏向が示唆される。
• サイズ $ r > C_1 \ln|\Lambda_n| $ の連結スピンクラスタの確率は $ r $ とともに指数的に減少し、$ |\Lambda_n| \to \infty $ のとき、大きなクラスタの和は 0 に近づく。
• $ + $-境界条件における無限体積極限は、$ - $-境界条件における極限と異なるため、ギブス測度の非一意性が証明される。
• 低温における複数のギブス測度の存在は、一次元というにもかかわらず系に相転移が存在することを確認する。
• 本モデルは、有限で実数値の最近接相互作用を有する一次元相転移の明確な例を提供し、統計力学における長年の未解決問題を解決している。