[論文レビュー] An existence theorem for the Yamabe problem on manifolds with boundary

Simon Brendle, S. Chen|ArXiv.org|Aug 29, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、次元 $ n \geq 6 $ のコンpakトなリーマン多様体の境界を持つ場合のヤマベ問題について、存在定理を確立する。境界点 $ p $ が集合 $ \mathcal{Z} $ に属さない（すなわち、Weylテンソルおよびその高々 $ d-2 $ 階までの微分が消える点でない）ならば、ヤマベ定数は半球面のそれよりも厳密に小さくなり、境界上で平均曲率がゼロでスカラー曲率が定数となるような共形計量の存在が保証される。

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact Riemannian manifold with boundary. We consider the problem (first studied by Escobar in 1992) of finding a conformal metric with constant scalar curvature in the interior and zero mean curvature on the boundary. Using a local test function construction, we are able to settle most cases left open by Escobar's work. Moreover, we reduce the remaining cases to the positive mass theorem.

研究の動機と目的

• 次元 $ n \geq 6 $ の場合に、境界が umbilic でWeylテンソルが消えないという状況におけるヤマベ問題の残りの未解決ケースを解消すること。
• Escobarの分類における問題(a)の解の存在を保証するための、厳密不等式 $ Y(M,\partial M,g) < Y(S_+^n,\partial S_+^n) $ の十分条件を確立すること。
• 放物型ヤマベフローおよび共形幾何学の技法を、境界が umbilic で多様体が半球面と共形同値でない臨界状況に対しても適用可能にするように拡張すること。
• Weylテンソルが境界点で $ d-2 $ 階まで消えるという条件下で、ヤマベ汎関数が最小化子をもつことを示し、精密化されたテスト関数の構成を用いる。

提案手法

• 境界点 $ p $ の近傍で共形フェルミ座標を用い、解の発散挙動をモデル化するテスト関数 $ u_\varepsilon(x) = \left( \frac{\varepsilon}{\varepsilon^2 + |x|^2} \right)^{\frac{n-2}{2}} $ を構成する。
• 局所的な関数 $ u_\varepsilon $ を補正項 $ w $ で調整し、境界条件を満たし、$ p $ の近傍で正しく定義された関数を得る。
• 局所的テスト関数 $ u_\varepsilon + w $ を、$ p $ を極とする共形ラプラシアンのグリーン関数に接合することで、多様体 $ M $ 全体にわたる定義を得る。
• 漸近的に平坦な多様体に関する[4]の技法と重み付き $ L^2 $ 評価を用い、テスト関数のエネルギーを制御する。
• 反射法を用いて、$ \mathbb{R}_+^n $ 上のベクトル場および対称テンソルを $ \mathbb{R}^n $ に拡張し、対称性およびトレースフリー性を保つ。
• Weylテンソルが $ p $ で消えること（すなわち $ p \notin \mathcal{Z} $）を用いて、補正項の減衰を制御し、テスト関数のエネルギーが半球面のそれよりも厳密に小さいことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n \geq 6 $ の場合に、境界が umbilic である多様体において、ヤマベ定数 $ Y(M,\partial M,g) < Y(S_+^n,\partial S_+^n) $ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 多様体が半球面と共形同値でない場合に、定数スカラー曲率と境界上で平均曲率がゼロである共形計量の存在は保証可能か？
• RQ3 境界点におけるWeylテンソルおよびその高々 $ d-2 $ 階までの微分の消えることが、ヤマベ汎関数の最小化子の存在に果たす役割は何か？
• RQ4 変分的アプローチにおけるパライス＝スメイル条件の失敗をどのように克服できるか？
• RQ5 境界が umbilic で次元が高次である臨界状況において、注意深く構成されたテスト関数のエネルギーが、半球面のヤマベ定数よりも厳密に小さいことを示せるか？

主な発見

• 境界点 $ p \in \partial M $ が $ \mathcal{Z} $ に属さないならば、$ Y(M,\partial M,g) < Y(S_+^n,\partial S_+^n) $ が成り立ち、これは定数スカラー曲率と境界上で平均曲率がゼロとなる共形計量の存在を示唆する。
• 集合 $ \mathcal{Z} $ は共形不変であり、Weylテンソルおよびその高々 $ d-2 $ 階までの微分が消える点から成り、$ d = \lfloor (n-2)/2 \rfloor $ である。
• $ p \in \mathcal{Z} $ であっても、関連する漸近的に平坦な多様体のADM質量が正であれば、不等式 $ Y(M,\partial M,g) < Y(S_+^n,\partial S_+^n) $ は依然として成り立つ。
• テスト関数 $ u_\varepsilon $ は方程式 $ \Delta u_\varepsilon = -n(n-2) u_\varepsilon^{\frac{n+2}{n-2}} $ を満たし、ユークリッド空間におけるアインシュタイン計量の挙動をモデル化する。
• 補正項 $ w $ は、境界条件 $ \kappa_{\tilde{g}} = 0 $ を保ち、グローバルなテスト関数が有限エネルギーを持つように構成される。
• 証明は、Weylテンソルから導かれるベクトル場および対称テンソルの $ L^2 $ 評価と重み付き減衰制御に依存しており、反射法および楕円型正則性を用いる。