[論文レビュー] An exotic Springer correspondence for symplectic groups

Syu Kato|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ のための異なった Springer 対応を、$G$-多様体 $\mathfrak{N}$ である「異なったノルム的コーン」の構成によって確立する。この $\mathfrak{N}$ は、$G$-軌道と $C_n$ 型のワイル群の既約表現の間の全単射に対応する。主な結果は、$\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道と $\mathsf{Irr}W$ の間の全単射対応であり、古典的 Springer 対応を一般化し、$C$ 型における Deligne-Langlands 対応を拡張する。

ABSTRACT

This paper is a sequel to math.RT/0601155. Let G be a complex symplectic group. In math.RT/0601155, we constructed a certain G-variety N = N_1, which we call the (1-) exotic nilpotent cone. In this paper, we study the set of G-orbits of the variety N. It turns out that the variety N gives a variant of the Springer correspondence for the Weyl group of type C, but shares a similar flavor with that of type A case. (I.e. there appears no non-trivial local system and the correspondence is bijective.) As an application, we present one sufficient condition for the bijectivity of our exotic Deligne-Langlands correspondence [K1].

研究の動機と目的

• $\mathbb{V} = V_1 \oplus V_2$ である $G$-加群から生じる $G$-多様体としての異なったノルム的コーン $\mathfrak{N}$ を定義し、その性質を調べること。ここで $V_1 = \mathbb{C}^{2n}$ かつ $V_2 = \wedge^2 V_1 / \mathbb{C}$ である。
• $\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道と $C_n$ 型ワイル群 $W$ の既約表現との間の幾何的対応を確立すること。
• 十分条件の下で双対性を示すことにより、$C_n$ 型における Deligne-Langlands 対応の幾何的実現を与えること。
• $\mathfrak{N}$ 上のファイバー成分のボレル＝モアレ・ホモロジーに $W$-加群構造を構成することにより、Grinberg の一般化された Springer 対応を一般化すること。

提案手法

• $F = G \times^B \mathbb{V}^+$ である $F$ から、$\mu: F \to \mathbb{V}$ なる有理的射の像として $\mathfrak{N}$ を構成する。ここで $\mathbb{V}^+$ は $\mathbb{V}$ の正の重み部である。
• $\mathbb{V}$ 上の $G \times (\mathbb{C}^\times)^2$-作用を $\mathfrak{N}$ に引き下ろし、正規性や有理的性といった幾何的性質を保証すること。
• $X \in \mathbb{O}$ に対して $M_\mathbb{O} = H_{\mathrm{codim}\,\mathbb{O}}(\mu^{-1}(X), \mathbb{C})$ を定義し、Ginzburg の理論を用いて $W$-加群構造を与えること。
• $\mathcal{MP}(n)$ と $\mathcal{SP}(n)$ を経由して、$\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道と $\mathcal{P}_2(n)$（和が $n$ であるペアの分割の集合）との間の全単射を確立すること。
• Stabilizer の連結性（Igusa の結果による）と数的等式 $|\mathcal{MP}(n)| = |\mathsf{Irr}W|$ を用いて、軌道から表現への対応の単射性を証明すること。
• $B_n$ 型の二パラメータ付き拡張アフィンヘッケ代数の理論を適用し、Deligne-Langlands 対応の正則性条件を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ノルム的コーンとは異なる幾何的対象を用いて、シンプレクティック群に対して Springer 対応の変種をどのように構成できるか？
• RQ2 異なったノルム的コーン $\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道の構造は何か？ そして、和が $n$ である分割のペアといった組合せ的データとどのように関係するか？
• RQ3 写像 $\mathbb{O} \mapsto M_\mathbb{O}$ は、$\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道とワイル群 $W$ の既約表現との間に全単射対応をもたらすか？
• RQ4 異なった Deligne-Langlands 対応がいつ双対的になるか？ そして、これは $\mathfrak{N}$ の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 異なった Springer 対応は、局所系を含む完全な対応へ拡張可能か？ あるいは、$A$ 型と同様に、自然に非自明な局所系を避ける性質を持つのか？

主な発見

• $\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道の集合は、和が $n$ である分割のペアの集合 $\mathcal{P}_2(n)$ と一対一対応する。
• $\mathbb{O} \mapsto M_\mathbb{O} = H_{\mathrm{codim}\,\mathbb{O}}(\mu^{-1}(X), \mathbb{C})$ なる写像は、$\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道と $C_n$ 型ワイル群の既約表現の集合 $\mathsf{Irr}W$ の間の全単射を定める。
• $\mathfrak{N}$ は正規であり、$\mu: F \to \mathfrak{N}$ は特異点の有理的射による解消である。
• $\mathfrak{N}$ の定義イデアルは、$\mathbb{C}[\mathbb{V}]^G_+ \cdot \mathbb{C}[\mathbb{V}]$ すなわち $\mathbb{C}[V_2]^G_+ \cdot \mathbb{C}[\mathbb{V}]$ により生成され、不変量に基づく構成であることが示される。
• $\mathfrak{N}$ 内の $G$-軌道のスタビライザーは連結であり、これは軌道から表現への対応の単射性の証明に不可欠である。
• $(-q_1, q_1, q_2)$ をパラメータとする $B_n$ 型の拡張アフィンヘッケ代数に対して、正則性条件は自動的に成立する。ただし $-q_1^2 \neq q_2^{\pm m}$ かつ $q_2^l \neq 1$ が $0 \leq m < n$ および $1 \leq l < 2n$ の範囲で成り立つ必要がある。