[論文レビュー] An expansion in the model space in the context of utility maximization

Kasper Larsen, Oleksii Mostovyi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、不完全な連続半マルティンゲールモデルにおける市場のリスクプレミアムプロセスの摂動に対するパワーミニマックス投資家の価値関数の2次テイラー展開を開発する。凸双対性と無限次元摂動解析を活用することで、正確な解が得られない場合でも、数値計算が可能となる明示的な1次近似を、プライマルおよびデュアル最適制御両方に対して導出する。これは、キム・オムバーグおよび拡張アフィンモデルを含む2つのキャリブレーション済み数値例で検証されている。

ABSTRACT

In the framework of an incomplete financial market where the stock price dynamics are modeled by a continuous semimartingale, an explicit first-order expansion formula for the power investor’s value function - seen as a function of the underlying market price of risk process - is provided and its second-order error is quantified. Two specific calibrated numerical examples illustrating the accuracy of the method are also given.

研究の動機と目的

• 連続価格過程を有する不完全金融市場における価値関数および最適戦略の数値的計算の課題に対処すること。
• 正確な解が得られない場合に、特に非マルコフ的かつ非アフィンな設定において、効用最大化のための実用的な近似手法を開発すること。
• 価値関数の市場のリスクプレミアムプロセスの摂動に対する安定性分析を行い、最も感受性の高い特徴を同定すること。
• モデル空間における2次展開を用いて、プライマルおよびデュアル最適投資戦略の明示的1次近似を構築すること。
• キム・オムバーグおよび拡張アフィンモデルを含む数値例を通じて、手法の正確性を検証すること。ここでは閉形式解が存在しない。

提案手法

• ベースモデル（既知の解を有する）の周囲における価値関数の2次テイラー展開を、市場のリスクプレミアムプロセスを展開パラメータとして扱うことで導出する。
• 凸双対性を用いて、同時にプライマルおよびデュアル最適化問題を分析し、展開における誤差を制御する境界を用いる。
• マルティンゲール表現定理およびホルダーの不等式を用いて、摂動下でのデュアル制御の可積分性と収束性を保証する。
• 1次最適プライマル制御を ˆπ(0) + ελ′/(1−p) およびデュアル制御を ˆν(0) として構築する。ここで λ′ は市場のリスクプレミアムの摂動である。
• 統合ボラティリティおよび時間変換過程における指数モーメント条件を用いて、展開の有効性の十分条件を確立する。
• イーラー離散化を用いたモンテカルロシミュレーションを実装し、確実性同等価値および信頼区間を計算し、近似値と正確な値を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉形式解が存在しない一般の不完全市場において、連続半マルティンゲール価格過程を有する価値関数は、どのように近似可能か？
• RQ2 市場のリスクプレミアムプロセスに摂動が加わった場合、最適プライマルおよびデュアル制御の1次近似は何か？
• RQ3 キム・オムバーグおよび拡張アフィン過程のようなモデルにおいて、2次展開法が確実性同等価値および最適投資戦略を推定する際に、どの程度の正確性を示すか？
• RQ4 市場のリスクプレミアムプロセスのどの特徴が、効用最大化解に最も顕著に影響を及ぼし、統計的推定において優先的に取り扱われるべきか？
• RQ5 価値関数の提案された境界は、モンテカルロ推定値と比較して、どの程度きついか、信頼性は高いか？

主な発見

• キム・オムバーグモデルでは、テストされたすべての ε 値において、確実性同等価値の2次近似が0.001以内の精度で正確であり、95％信頼区間が正確な値をきっちりと包含している。
• 拡張アフィンモデルでは、2次近似が0次および1次近似を著しく上回り、特に ε = 0.10 の場合、ベースモデルの最適化器が100％以上も性能を下回る。
• 確実性同等価値の下限および上限境界は一貫してきついものであり、中程度の ε 値においては95％信頼区間の幅が0.01未満に収まっている。これは近似の高い信頼性を示している。
• ε = −0.10 に対しても、この手法は有効かつ正確であり、上限境界が真の値を0.015以内に捉えている。これは大規模な摂動に対してもロバストであることを示している。
• 2次最適制御 ˜π = ˆπ(0) + ελ′/(1−p) および ˜ν = ˆν(0) は明示的に定義されており、ベースモデル最適化器 ˆπ(0) よりも著しく優れた性能を示している。
• 本手法は、閉形式解が存在しないモデル（例えば、拡張アフィンモデル）にも適用可能であり、価値関数が無限級数としてしか得られない場合でも、近似は極めて正確である。