[論文レビュー] An experimental analysis of Lemke-Howson algorithm

Bruno Codenotti, Stefano Rossi+1 more|ArXiv.org|Nov 20, 2008

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、二行列ゲームにおけるナッシュ均衡を計算するためのレミケ・ハウソンアルゴリズムに、ピボットパス長の制限と各ピボットからの再初期化を組み合わせた新規ヒューリスティックな拡張を提示している。この手法により、一様ランダムなゲームにおいて性能が著しく向上し、平均計算量が線形時間（標準のレミケ・ハウソンアルゴリズムの7次多項式時間と比較して）となる。この結果、1000×1000サイズのゲームに対しても効率的な計算が可能となる。

ABSTRACT

We present an experimental investigation of the performance of the Lemke-Howson algorithm, which is the most widely used algorithm for the computation of a Nash equilibrium for bimatrix games. Lemke-Howson algorithm is based upon a simple pivoting strategy, which corresponds to following a path whose endpoint is a Nash equilibrium. We analyze both the basic Lemke-Howson algorithm and a heuristic modification of it, which we designed to cope with the effects of a 'bad' initial choice of the pivot. Our experimental findings show that, on uniformly random games, the heuristics achieves a linear running time, while the basic Lemke-Howson algorithm runs in time roughly proportional to a polynomial of degree seven. To conduct the experiments, we have developed our own implementation of Lemke-Howson algorithm, which turns out to be significantly faster than state-of-the-art software. This allowed us to run the algorithm on a much larger set of data, and on instances of much larger size, compared with previous work.

研究の動機と目的

• 大規模な二行列ゲームにおけるレミケ・ハウソンアルゴリズムの実験的性能を評価すること。これまでは実装の効率性に制限があり、研究が進んでいなかった。
• 標準のレミケ・ハウソンアルゴリズムにおける悪いピボット選択が引き起こす長大なパス長による計算非効率性を是正すること。
• 正しさとスケーラビリティを維持しながら、平均実行時間を短縮するメモリ効率の良いヒューリスティックを設計・実装すること。
• ヒューリスティックが一様ランダムなゲームにおいて線形平均実行時間に達することを示し、標準アルゴリズムの多項式的（次数約7）スケーリングと対照的にすること。

提案手法

• 標準のレミケ・ハウソンアルゴリズムのカスタム実装を独自に開発し、速度とスケーラビリティにおいて、既存の最先端ソフトウェアを上回った。
• 各初期ピボットに対してピボティングステップ数を制限する新規ヒューリスティックを提案。上限パラメータ（capping parameter）を設定し、2n個の可能なピボットのそれぞれから再起動する。
• すべてのピボットに対して上限ステップ数内に均衡が得られなければ、最後のピボットから完全なレミケ・ハウソン走査を実行する。
• ヒューリスティックは常に1つのテーブルのみを保持するため、標準アルゴリズムと同等のメモリ使用量を維持する。これにより、従来の複数パス手法とは異なり、メモリ効率が保たれる。
• 早期終了確率とパス長のバランスを取るために、最適化された上限パラメータ（約10ステップ）を用い、平均計算時間を最小化する。
• サイズを増加させた一様ランダムゲーム（最大1000×1000）を対象に、広範な実験を実施。平均ピボティングステップ数と終了確率を測定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様ランダムな二行列ゲームにおいて、標準レミケ・ハウソンアルゴリズムの平均実行時間はゲームサイズにどのように依存するか？
• RQ2 レミケ・ハウソンアルゴリズムのヒューリスティックな修正により、正しさと低メモリ使用量を維持しながら、ピボティングステップ数の平均を削減できるか？
• RQ3 異なるゲームサイズにおいて、平均計算時間を最小化する最適な上限値（capping value）は何か？
• RQ4 大規模ゲームにおいて、上限パラメータが変化するとき、最後のピボット（すなわち完全なレミケ・ハウソン走査）を実行する必要がある確率はどのように変化するか？
• RQ5 ヒューリスティックは、標準アルゴリズムの実用的限界を超えるゲームにおいて、均衡の計算をどの程度可能にするか？

主な発見

• 標準レミケ・ハウソンアルゴリズムは、図2に示すように、ゲームサイズに対しておよそ7次多項式の割合で平均実行時間が増加することが分かった。
• 提案されたヒューリスティックは、一様ランダムなゲームにおいて線形平均実行時間を達成し、平均ピボティングステップ数がゲームサイズに比例して増加することが確認された。
• ヒューリスティックの最適な上限値は約10ステップであり、この値はさまざまなゲームサイズにわたり安定しており、延長分析によって裏付けられた。
• 100×100ゲームでは、上限値が20を上回ると、最後のピボットに到達する必要がある確率（すなわち完全なレミケ・ハウソン走査を実行する必要がある確率）は1%未満に低下する。
• ヒューリスティックは、1000×1000サイズのゲームに対しても、合理的な時間内に均衡を計算可能である。一方、標準アルゴリズムは数100サイズのゲームに制限される。
• ヒューリスティックのステップ数分布は、標準アルゴリズムと類似しているが、より密集しており非単調的である。これは、複数の異なるピボットから得られる短い妥当パスの集積を反映している。