[論文レビュー] An explanation of the Newman-Janis Algorithm

S. P. Drake P. Szekeres|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 1998

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 51

ひとこと要約

この論文は、アドバンスド・ノルム座標における5段階の手順を分析することで、ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムがリーマン＝ノルトストローム解からカー＝ニューマン計量を生成する成功を厳密に説明している。このアルゴリズムが真に完ぺきな流体解としてカー計量を生成するのは限られた場合に限られ、アインシュタイン＝マックスウェル方程式の代数的に特別な真空中解としてのカー＝ニューマン計量は一意的であることが証明され、長年の懸念であったその手続きの恣意的性質に関する疑問が解消された。

ABSTRACT

After the original discovery of the Kerr metric, Newman and Janis showed that this solution could be ``derived'' by making an elementary complex transformation to the Schwarzschild solution. The same method was then used to obtain a new stationary axisymmetric solution to Einstein's field equations now known as the Kerr-newman metric, representing a rotating massive charged black hole. However no clear reason has ever been given as to why the Newman-Janis algorithm works, many physicist considering it to be an ad hoc procedure or ``fluke'' and not worthy of further investigation. Contrary to this belief this paper shows why the Newman-Janis algorithm is successful in obtaining the Kerr-Newman metric by removing some of the ambiguities present in the original derivation. Finally we show that the only perfect fluid generated by the Newman-Janis algorithm is the (vacuum) Kerr metric and that the only Petrov typed D solution to the Einstein-Maxwell equations is the Kerr-Newman metric.

研究の動機と目的

• ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムがなぜカー＝ニューマン計量を成功裏に生成できるのかを明確にし、多くの物理学者が恣意的または任意の手続きであるとみなしているという認識に反論すること。
• 特に複素化の選択に関して、アインシュタイン方程式の有効な解を生成するための正確な条件を特定すること。
• 回転する場合を含め、アルゴリズムがカー計量と一致する完ぺきな流体内部解を生成できるかどうかを調査すること。
• アルゴリズムを用いて得られる解の中で、代数的に特別な真空中アインシュタイン＝マックスウェル解としてのカー＝ニューマン計量の一意性を確立すること。
• アルゴリズムにおける複素化手続きが恣意的ではなく、一意的に整合性と解の妥当性を満たすために決定づけられていることを示すこと。

提案手法

• ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムを5段階の手続きとして形式化する：(1) 種となる計量をアドバンスド・ノルム座標で表現する、(2) 計量からヌルテトラッドを構成する、(3) テトラッド成分に対して複素座標変換を施す、(4) 新たな複素化されたテトラッドを用いて計量を再び実数形式に変換する、(5) 生成された計量がアインシュタイン方程式を満たすかを検証する。
• この手法は、アドバンスド・エディングトン＝フィンクルスタイン座標における静的かつ球対称な種となる計量に適用され、一般形として $ ds^2 = e^{2 ilde{ u}(r)}du^2 + e^{ ilde{ u}(r)+ ilde{eta}(r)}dudr - r^2(d heta^2 + an^2 heta d heta^2) $ をとる。
• アルゴリズムは、$ r \to r + ia\cos\theta $ を用いた径方向座標の複素化に加え、計量関数への複素共役拡張を実行することで、生成された計量が実数的かつ対称的であることを保証する。
• 解析にはニューマン＝ペネローズ形式が用いられ、スピン係数およびウェイルスカラーを計算し、生成された時空をペトロフ型で分類する。
• 真空中およびアインシュタイン＝マックスウェル解の検証のために、マセールVの記号的計算を用い、テンソルおよびデベーヴァー・パッケージを用いてリッチスカラーを計算する。
• 生成された時空が代数的に特別（ペトロフ型D）であるための条件を、計量関数 $ j(r) $ および $ k(r) $ について導出し、$ k(r) = r^2 $ および $ j(r) = r^2 + d_1 r + d_0 $ という一意的解が得られ、定数を質量および電荷パラメータに設定することでカー＝ニューマン計量に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多くの物理学者が恣意的とみなしているにもかかわらず、なぜニューマン＝ジャニスのアルゴリズムはカー＝ニューマン計量を成功裏に生成できるのか？
• RQ2 特に複素化の選択に関して、ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムがアインシュタイン方程式の有効な解を生成するための正確な条件は何か？
• RQ3 ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムは、回転する場合を含め、カー計量と一致する完ぺきな流体内部解を生成できるか？
• RQ4 ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムによって生成される解のクラスにおいて、代数的に特別な時空としてのカー＝ニューマン計量の一意性は何か？特に代数的に特別な時空に限って。
• RQ5 ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムにおける複素化手続きは恣意的なのか、それとも整合性および解の妥当性を満たすために一意的に決定づけられているのか？

主な発見

• 静的かつ球対称な種となる計量から、ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムが生成する唯一の完ぺきな流体時空は、圧力およびエネルギー密度がゼロである場合に限って真空カー計量である。
• ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムによって生成されるすべての代数的に特別な時空（ペトロフ型D）は、$ k(r) = r^2 + c_1(r + c_1/4) $ を満たし、条件 $ c_1^2 - 4c_0 = 0 $ を満たす必要があり、この条件が型D解を一意的に特徴付ける。
• リッチスカラーがゼロである、すなわちアインシュタイン＝マックスウェル方程式の解であるような、代数的に特別な時空として生成される唯一の解はカー＝ニューマン計量であり、これは $ c_1 = 0 $、$ j(r) = r^2 + d_1 r + d_0 $ であり、定数を質量および電荷パラメータに設定した場合にのみ得られる。
• ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムにおける複素化手続きは恣意的ではなく、生成された計量が実数的で対称的かつアインシュタイン方程式を満たすという要件によって一意的に決定づけられており、これがその成功の理由を説明する。
• ドレイク＝トゥロラ計量は、非回転極限ではカー計量に滑らかに接続する完ぺきな流体であるが、回転が非ゼロの場合は流体方程式を満たさないため、回転する完ぺきな流体解にはなり得ない。
• ニューマン＝ジャニスのアルゴリズムは、真空中のカー解を除いて非真空の完ぺきな流体解を生成できない。生成される唯一の非真空解は、代数的に特別なアインシュタイン＝マックスウェル時空のクラスにおいて一意的であるカー＝ニューマン計量である。