[論文レビュー] An explicit construction of Jacobi cusp forms and its applications

Shunsuke Yamana|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2008

Advanced Algebra and Geometry被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、下降写像を用いて、楕円尖点形式から行列指数付きのJacobi尖点形式の明示的構成を提示する。この手法により、直交群上のMaass空間およびIkeda上り上げの応用が可能となり、Siegelモジュラー形式およびその上り上げの研究に新たな道具が提供される。

ABSTRACT

Abstract. From an elliptic cusp form, we construct a Jacobi cusp form of degree one with matrix index, which gives a section of the descent map. We have applications to the theory of Maass spaces on orthogonal groups and the Ikeda lifting.

研究の動機と目的

• 行列指数付きの1次Jacobi尖点形式を明示的に構成するための手法を開発すること。
• 下降写像を介して楕円尖点形式とJacobi尖点形式の間の関係を確立すること。
• この構成を直交群上のMaass空間理論に応用すること。
• Siegelモジュラー形式の文脈において、Ikeda上り上げの枠組みを拡張すること。

提案手法

• 入力として与えられた楕円尖点形式から出発する。
• 下降写像を適用して、行列指数付きの1次Jacobi尖点形式に上昇させる。
• 行列指数付きJacobi形式の構造を活用し、モジュラー性および尖点条件を保証する。
• 表現論的および自動形式的技法を用いて、構成の正当性を検証する。
• 出力結果を文脈化するため、Siegelモジュラー形式および直交群の理論における既知の結果に依拠する。
• 得られた形式が必要な変換法則を満たし、すべての尖点で消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円尖点形式をどのように体系的に用いて、行列指数付きのJacobi尖点形式を構成できるか？
• RQ2 下降写像は、楕円尖点形式と1次Jacobi形式の間で果たす役割は何か？
• RQ3 構成されたJacobi尖点形式は、直交群上のMaass空間の構造にどのように寄与するか？
• RQ4 この構成は、Ikeda上り上げプロセスをどのように一般化または支援するか？
• RQ5 この構成によって得られるJacobi形式のモジュラー性および消滅性の性質は何か？

主な発見

• この構成により、任意の楕円尖点形式から、明確に定義された1次行列指数付きJacobi尖点形式が得られる。
• 得られた形式は下降写像のセクションであるため、自動形式の下降理論と整合することが確認された。
• この手法は、直交群上のMaass空間の研究に用いることのできる、新しい明示的実現を提供する。
• 形式論的経路を明確に提供するため、この構成はIkeda上り上げ理論を支援する。
• 出力形式はすべての必要な変換性を満たし、すべての尖点で消えるため、尖点形式としての性質が確認された。
• このアプローチにより、行列指数構造を通じて、古典的楕円モジュラー形式と高次元Jacobi形式との間の橋渡しがなされた。