[論文レビュー] An Explicit Construction of Quantum Expanders

Avraham Ben-Aroya, Oded Schwartz+1 more|ArXiv.org|Sep 6, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、古典的ゼッグル・ザッグ積の量子版を用いて、初めて明示的な定数次数の量子拡張を構成した。ベースの量子拡張にゼッグル・ザッグ積を適用することで、スペクトルギャップが $\lambda + O(\lambda^2)$ で有界な明示的かつ定数次数の量子拡張が得られ、量子拡張理論における長年の未解決問題を解決した。これまでの構成は明示的か定数次数のどちらかであったが、両方を満たさなかった。

ABSTRACT

Quantum expanders are a natural generalization of classical expanders. These objects were introduced and studied by Ben-Aroya and Ta-Shma and by Hastings. In this note we show how to construct explicit, constant-degree quantum expanders. The construction is essentially the classical Zig-Zag expander construction, applied to quantum expanders.

研究の動機と目的

• 量子拡張理論における長年のギャップを解消する明示的かつ定数次数の量子拡張の構築。
• 古典的ゼッグル・ザッグ積の構成を量子設定に一般化し、拡張性質を保つこと。
• 得られる量子拡張が多項式サイズの量子回路によって効率的に実装可能であることを保証すること。
• 量子ゼッグル・ザッグ積がヒルベルト＝シュミットノルムにおけるスペクトル拡張を保つことの証明をし、固有値の減衰を有界にすること。

提案手法

• 量子状態上の超演算子に対して古典的ゼッグル・ザッグ積を一般化し、$D_1$-正則な $G_1$ と $D_2$-正則な $G_2$ に対して量子ゼッグル・ザッグ積 $G_1 ⓩ G_2$ を定義する。
• テンソル積 $G_1 \otimes G_2$ を用いてヒルベルト空間の次元を拡大しつつ、スペクトル拡張を保つ。
• スティングルの操作 $G^2$ を適用してスペクトルギャップを改善し、第二固有値を $\lambda^2$ に低下させる。
• サイズを増大させつつ定数次数を維持するため、交互にテンソル積、スティングル、ゼッグル・ザッグ積を用いた再帰的系列 $G_t$ を構築する。
• 存在が確率的技法および先行結果によって保証される、$(D^8, D, \lambda)$ の量子拡張である基本超演算子 $H$ を活用する。
• アイデンティティに直交する部分空間における作用素ノルムの有界性を用いて、量子ゼッグル・ザッグ積が拡張性質を保つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子拡張が明示的かつ定数次数であるように構築可能か？ これにより、従来の構成の制限を克服できるか？
• RQ2 古典的ゼッグル・ザッグ積を量子設定に一般化する方法は何か？ そして、スペクトル拡張を保つことができるか？
• RQ3 超演算子の第二固有値に関して、量子ゼッグル・ザッグ積のスペクトル的挙動はいかなるものか？
• RQ4 テンソル積、スティングル、ゼッグル・ザッグ積を再帰的に合成することで、明示的かつ定数次数の量子拡張の族を構成可能か？
• RQ5 得られる量子拡張のスペクトルギャップ $\overline{\lambda}$ の定量的境界は何か？

主な発見

• 超演算子 $G_1$ が $(N_1, D_1, \lambda_1)$ で $G_2$ が $(D_1, D_2, \lambda_2)$ のとき、量子ゼッグル・ザッグ積 $G_1 ⓩ G_2$ は $(N_1 D_1, D_2^2, \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_2^2)$ の量子拡張を生成する。
• 再帰的構成 $G_t$ により、明示的かつ $(D^{8t}, D^2, \lambda_t)$ の量子拡張が得られ、$\lambda_t = \lambda + O(\lambda^2)$ となる。
• スティングル操作 $G^2$ は拡張性質を保ち、$(N, D, \lambda)$ の拡張を $(N, D^2, \lambda^2)$ の拡張に変換する。
• テンソル積 $G_1 \otimes G_2$ は二つの量子拡張を $(N_1 N_2, D_1 D_2, \max(\lambda_1, \lambda_2))$ の拡張に結合する。
• 確率的技法および量子拡張に関する先行結果によって、$(D^8, D, \lambda)$ の基本超演算子 $H$ の存在が保証される。
• スペクトル拡張の証明は、恒等演算子に平行および直交する部分空間に作用素空間を分解することに依拠し、それぞれのノルム減衰は $\lambda_1$ および $\lambda_2$ で有界である。