[論文レビュー] An explicit construction of the Quillen homotopical category of dg Lie algebras

Boris Shoikhet|ArXiv.org|Jun 9, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Maurer-Cartan方程式の解に対するゲージ作用を用いて、微分的可換（dg）Lie代数のQuillenのホモトピー的圏の明示的構成を提供する。dg Lie代数のカテゴリカルな同型類をこのゲージホモトピー関係で割ったカテゴリが、 quasi-isomorphism での Quillen-Hinich 局所化と同値であることを証明し、Quillenの抽象的なホモトピー概念がこの明示的構成と一致することを確認する。

ABSTRACT

Let $\g_1$ and $\g_2$ be two dg Lie algebras, then it is well-known that the $L_\infty$ morphisms from $\g_1$ to $\g_2$ are in 1-1 correspondence to the solutions of the Maurer-Cartan equation in some dg Lie algebra $\Bbbk(\g_1,\g_2)$. Then the gauge action by exponents of the zero degree component $\Bbbk(\g_1,\g_2)^0$ on $MC\subset\Bbbk(\g_1,\g_2)^1$ gives an explicit "homotopy relation" between two $L_\infty$ morphisms. We prove that the quotient category by this relation (that is, the category whose objects are $L_\infty$ algebras and morphisms are $L_\infty$ morphisms modulo the gauge relation) is well-defined, and is a localization of the category of dg Lie algebras and dg Lie maps by quasi-isomorphisms. As localization is unique up to an equivalence, it is equivalent to the Quillen-Hinich homotopical category of dg Lie algebras [Q1,2], [H1,2]. Moreover, we prove that the Quillen's concept of a homotopy coincides with ours. The last result was conjectured by V.Dolgushev [D].

研究の動機と目的

• dg Lie代数の $L_\infty$ モルフィズム間のホモトピーの明示的かつ計算可能な定義を提供すること。
• dg Lie代数の $L_\infty$ モルフィズムのカテゴリをゲージ同値関係で割った商カテゴリが、Quillen-Hinich ホモトピー的カテゴリに同値であることの証明。
• Quillenの抽象的なホモトピー概念が、明示的なゲージ理論的構成と一致することの確立。
• この構成を Koszul 操作子に関するdgモジュールへ一般化し、適用範囲を拡張すること。

提案手法

• dg Lie代数 $\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)$ を定義し、そのMaurer-Cartan解が $\mathfrak{g}_1$ から $\mathfrak{g}_2$ への $L_\infty$ モルフィズムをパラメータ化すること。
• ゲージ作用 $\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)^0$ を $MC\subset\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)^1$ に作用させることで、$L_\infty$ モルフィズム間の明示的ホモトピー関係を定義すること。
• dg Lie代数のカテゴリにおける右シリンダーオブジェクト $\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$ を構成し、パスに類似した写像を用いてホモトピーを実現すること。
• 初期条件 $U_0$ を持つ時間に依存するMaurer-Cartan方程式の解を用いて、$L_\infty$ マップ $U_{\mathrm{Cyl}}:\mathfrak{g}_1\to\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$ を定義すること。
• 射影 $p_0, p_1:\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)\to\mathfrak{g}_2$ が関連する図式を可換にするように確認し、$U_{\mathrm{Cyl}}$ がホモトピーを誘導することを保証すること。
• 得られた商カテゴリが quasi-isomorphism での局所化であることを証明し、したがって Quillen-Hinich カテゴリと同値であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dg Lie代数のQuillenホモトピー的圏は、ゲージ理論的ホモトピーを用いて明示的に構成可能か？
• RQ2 $L_\infty$ モルフィズムのゲージ同値関係による商カテゴリは、quasi-isomorphism での局所化となるか？
• RQ3 Quillenの抽象的なホモトピー概念は、Maurer-Cartan解への明示的ゲージ作用と一致するか？
• RQ4 この構成は、Koszul 操作子に関するdgモジュールへ一般化可能か？

主な発見

• dg Lie代数の $L_\infty$ モルフィズムをゲージ同値関係で割ったカテゴリは、明確に定義されており、元のカテゴリと同一の対象を持つカテゴリを形成する。
• この商カテゴリは、Quillen-Hinich ホモトピー的カテゴリ、すなわち quasi-isomorphism での局所化と同値である。
• Maurer-Cartan解へのゲージ作用は、dg Lie代数の文脈におけるQuillenのホモトピー関係の完全な明示的実現を提供する。
• 時間に依存するMaurer-Cartan方程式の解を用いた右シリンダーオブジェクト $\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$ の構成により、ホモトピーの幾何的実現が可能になる。
• 解 $F(t) = \exp(ad(tH))(F(0)) + f(tH)(d_{\Bbbk}H)$ は、時間に依存するMaurer-Cartan方程式を満たし、$U_{\mathrm{Cyl}}$ が $L_\infty$ モルフィズムであることを保証する。
• $p_0$, $p_1$, および $U_{\mathrm{Cyl}}$ を含む図式の可換性の確認により、$U_{\mathrm{Cyl}}$ が $U_0$ から $U_1$ へのホモトピーを誘導することが確認される。