[論文レビュー] An explicit d-bar-integration formula for weighted homogeneous varieties II: forms of higher degree

Jean Ruppenthal, Eduardo S. Zeron|ArXiv.org|Nov 23, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素数空間 ℂⁿ 内の重み付き斉次部分多様体の正則部における、コンパクトな台を持つ ∂̄-閉 (0,q)-形式に対して、明示的な L^p-有界 ∂̄-解作用素を提示する。これは、q=1 の場合に限られていた先行研究を q≥1 に拡張したものである。手法は、正則的再パラメータ化と錐へのプルバックを用いた d-bar 積分公式に基づく。重み付き斉次で任意の特異点集合をもつ多様体の場合、1≤p≤∞ に対して一様な L^p 評価を得る。

ABSTRACT

Let Y be a weighted homogeneous (singular) subvariety of C^n. The main objective of this paper is to present a class of explicit integral formulae for solving the d-bar-equation $ω=\dbarλ$ on the regular part of Y, where $ω$ is a d-bar-closed (0,q)-form with compact support and degree q>=1. Particular cases of these formulae yield L^p-bounded solution operators for $1<=p<=\infty$ if Y is a homogeneous and pure dimensional subvariety with an arbitrary singular locus.

研究の動機と目的

• 重み付き斉次部分多様体における (0,1)-形式から、高次の (0,q)-形式への明示的 ∂̄-解作用素の拡張を図ること。
• 任意の特異点集合をもつ、斉次的かつ純次元的な部分多様体において、1≤p≤∞ の L^p-有界解作用素を ∂̄λ = ω に対して確立すること。
• 正則的再パラメータ化と錐へのプルバックを用いて、[18] の d-bar 積分公式を高次形式へ一般化すること。
• 重み付き斉次性を用いた、特異複素空間上での一様 L^p 評価をもつ解作用素の構成法を体系的に提供すること。

提案手法

• 手法は、重み付き作用 u ↦ u^β * z を用いた正則的再パラメータ化 Π: ℂ*×U → Σ* により、多様体の正則部を積空間へ写像する。
• 重み付き斉次多様体 Σ を錐 X へ写像するプルバック Φ(x) = (x₁^β₁, ..., xₙ^βₙ) を用い、同次多項式をもつ錐への問題に還元する。
• 解作用素 S̃_q^σ(ω) は、u^σ と dū∧du/(ū(u−1)) を含む核関数を用いた積分公式により構成される。
• 重要な要素は、|Θ| に下からの有界性を保証する形の Θ = |u|²|ξ₁|² である。
• Π*ω が L^p₀,ₚ(ℂ×U) に属し、∂̄-閉であるという事実に依拠しており、これにより定理4を適用して ∂̄S̃_q^σ(ω) = ω が成立することを検証できる。
• プルバック Φ* は、錐上での解と元の多様体との間の整合性を保証し、Φ* S̃_q^σ(ω) = S̃_q^σ(Φ*ω) が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き斉次部分多様体 Σ⊂ℂⁿ の正則部において、q≥1 の (0,q)-形式に対して明示的な ∂̄-解作用素を構成可能か？
• RQ2 解作用素 S̃_q^σ(ω) が、1≤p≤∞ に対して L^p-有界であるための条件は何か？
• RQ3 Φ(x) = (x₁^β₁, ..., xₙ^βₙ) を用いた錐へのプルバックが、L^p-有界解作用素の構成をどのように支援するか？
• RQ4 p<∞ の場合に、Φ*ω が L^p₀,ₚ(X) に属するための条件は何か？ また、その障害はどのように克服できるか？
• RQ5 q=1 の場合に [18] で得られた d-bar 積分公式を、L^p 評価を保ったまま高次形式へ一般化可能か？

主な発見

• 本稿では、任意の重み付き斉次部分多様体 Σ⊂ℂⁿ の正則部において、コンパクトな台を持つ ∂̄-閉 (0,q)-形式 ω (q≥1) に対して、明示的な ∂̄-解作用素 S̃_q^σ(ω) を構成する。
• 解作用素は分布の意味で ∂̄S̃_q^σ(ω) = ω を満たし、解 λ = S̃_q^σ(ω) は適切に定義され、可測である。
• 任意の特異点集合をもつ、斉次的かつ純次元的な部分多様体において、すべての 1≤p≤∞ に対して解作用素は L^p-有界である。
• 錐へのプルバックと正則的再パラメータ化 Π の使用により、L^p-有界性が確立される。これにより、Π*ω が L^p₀,ₚ(ℂ×U) に属し、∂̄-閉であることが保証される。
• ヤコビアン行列式 |Θ| = |u|²|ξ₁|² がコンパクト集合上で下から有界であるという事実に依拠し、一様な L^p 評価が可能になる。
• プルバック Φ* は解構造を保存し、Φ* S̃_q^σ(ω) = S̃_q^σ(Φ*ω) が成り立つため、錐と元の多様体との間で一貫性が保たれる。