[論文レビュー] An explicit description in terms of Plücker coordinates of the Langrangian-Grassmannian

Jesús Carrillo Pacheco, Fausto Jarquín-Zárate+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の体上でのPlücker座標におけるLagrangian-Grassmannian $L(n,2n)$ の明示的で特徴的要因を含まない記述を提供する。$G(n,2n)$ の線形切断としての記述であり、symplectic基底と縮約写像を用いて、特定の多重添字によって添字づけられた明示的な線形方程式を導出する。これらは縮約写像の核を切り出すものであり、Lagrangian-GrassmannianをPlücker座標における二次関係とこれらの線形形式の共通零点集合として特徴づける。この記述は任意の体上で有効である。

ABSTRACT

For an arbitrary field of any characteristic we give an explicit description, in terms of Plücker coordinates, of the projective linear space that cuts out the Lagrangian-Grassmannian variety $L(n,2n)$ of maximal isotropic subspaces in a symplectic vector space of dimension $2n$ in the Grassmannian variety $G(n,2n)$

研究の動機と目的

• 任意の体上でのPlücker座標を用いたLagrangian-Grassmannian $L(n,2n)$ の明示的で座標に基づく特徴づけを提供すること。
• symplectic形式によって誘導される写像 $f: \bigwedge^n E \to \bigwedge^{n-2} E$ の核を定義する線形方程式を特定すること。
• Plücker埋め込みにおける $G(n,2n)$ の中で $L(n,2n)$ を切り出す線形部分空間 $\mathbb{P}(\ker f)$ の一様で明示的な記述を提供すること。
• 偶数 $n$ と奇数 $n$ のそれぞれについて、定義する線形系の構造を別々に分析し、奇数の場合を偶数の場合から導出すること。

提案手法

• $\langle e_i, e_{2n-i+1} \rangle = 1$ で、他はゼロとなるsymplectic基底 $\{e_1, \dots, e_{2n}\}$ を用いる。
• $\bigwedge^n E$ の元を $n$-組 $\alpha \in I(n,2n)$ によって添字づけられたPlücker座標 $p_\alpha$ で表現する。
• 縮約写像 $f$ を $f(w) = \sum_{i<j} \langle w_i, w_j \rangle \widehat{w}_i \widehat{w}_j$ で定義し、Plücker座標における線形方程式を用いて $\ker f$ を特徴づける。
• $\Pi_{\alpha_{st}} = \sum_i c_{i,\alpha_{st},2n-i+1} X_{i,\alpha_{st},2n-i+1}$ として線形形式を導入し、係数はサポート条件に依存する。
• $I(n-2,2n) = \bigcup_{i=1}^n (i) \times C_4(\Sigma(i)) \cup \text{他の添字集合}$ の分解を用いて、定義方程式を整理する。
• $n=7$ の場合に、$B = \varphi(I(5,14))$ を、異なる添字タイプに対応する部分行列 $\mathcal{L}_4, \mathcal{L}_3, \mathcal{L}_2$ の直和として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体上でのLagrangian-Grassmannian $L(n,2n)$ を切り出すPlücker座標における明示的な線形方程式系は何か？
• RQ2 symplectic形式によって誘導される縮約写像が、Plücker座標上でどのように線形条件に翻訳されるか？
• RQ3 $\ker f$ の定義線形系は、添字集合の組合せ的タイプに従って分解・分類可能か？
• RQ4 偶数 $n$ と奇数 $n$ における定義方程式の構造はどのように異なるか？
• RQ5 異なる特性を持つ体上での線形系 $\ker f$ のランクは何か？

主な発見

• Lagrangian-Grassmannian $L(n,2n)$ は、$G(n,2n)$ のPlücker埋め込みにおいて、Plückerの二次関係と線形形式 $\Pi_{\alpha_{st}}$ によって切り出される。これらは $w \in \ker f$ のときにかつそのときにのみ消える。
• $n=7$ の場合、定義線形系のランクは $\text{char}(F) = 0$ または $p \geq 5$ のとき $\text{rank}(B) = 2002$、特性2では $\text{rank}(B) = 1666$ である。
• 行列 $B$ は7つの $\mathcal{L}_4$、301つの $\mathcal{L}_3$、693つの $\mathcal{L}_2$ のコピーの直和に分解される。これらは異なる添字配置に対応する。
• 係数 $c_{i,\alpha_{st},2n-i+1}$ は、集合 $\{i, \alpha_{st}, 2n-i+1\}$ のサイズが $n$ に等しいときにのみ1となり、これによりサポートの整合性が保証される。
• この構成は任意の体、特に正の特性を持つ体に対しても有効であり、Plücker座標を用いた明示的な線形方程式が与えられる。
• 本結果により、$\mathbb{P}^{N-1}$ の線形部分空間としての $\mathbb{P}(\ker f)$ の完全で明示的かつ特徴的要因に依存しない記述が確立される。ここで $N = \binom{2n}{n}$ である。