[論文レビュー] An Explicit Example Of Optimal Portfolio-Consumption Choices With Habit Formation And Partial Observations

Xiang Yu|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、カルマン＝ブチー型フィルタリングと動的計画法を用いて、習慣形成と部分的観測下における最適ポートフォリオ・消費問題に対して明示的解を提供する。拡散市場における観測不能なドリフトを想定し、投資と消費の閉形式フィードバック戦略を導出することで、完全情報よりも部分的情報の下で経路依存制御問題が単純化されることを示している。

ABSTRACT

We consider a model of optimal investment and consumption with both habit formation and partial observations in incomplete Itô processes market. The investor chooses his consumption under the addictive habits constraint while only observing the market stock prices but not the instantaneous rate of return. Applying the Kalman-Bucy filtering theorem and the Dynamic Programming arguments, we solve the associated Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation explicitly for the path dependent stochastic control problem in the case of power utilities. We provide the optimal investment and consumption policies in explicit feedback forms using rigorous verification arguments.

研究の動機と目的

• 現在の効用が過去の消費水準に依存する中毒的習慣形成下での最適投資と消費をモデル化すること。
• 投資家がリスク資産の瞬間的ドリフトを観測できないという現実的制約を扱うこと。
• 部分的情報下での経路依存確率的制御問題を明示的に解き、動的計画法に依存しないこと。
• 部分的観測が完全情報設定と比較して解構造を単純化することを示すこと。
• 検証定理を用いて、明示的なフィードバック形式による最適方策の正当性を厳密に確認すること。

提案手法

• 株価と観測不能なドリフトを相関する伊藤過程としてモデル化し、ドリフトがオーナイズ・ウーレンプ過程に従うものとする。
• カルマン＝ブチー型フィルタリング定理を適用し、観測された株価に基づいて未観測ドリフトを推定する。
• パワーユーティリティと部分的情報下での価値関数に対して、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を定式化する。
• アンザッツ法を用いて、定数係数を有する補助的常微分方程式（ODE）にHJB方程式を分解する。
• 検証定理を用いて、候補となるフィードバック制御が最適であることを厳密に確認する。
• 4つの異なるパrameter設定（双曲的、多項式的、正接的、臨界的）の下で、得られたODE系を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 投資家がリスク資産の真のドリフトを観測できない状況下で、習慣形成が最適消費と投資にどのように影響を与えるか。
• RQ2 習慣形成を伴う部分的観測設定下でも、最適方策の明示的フィードバック形式を導出できるか。
• RQ3 この経路依存制御問題において、なぜ部分的観測設定が完全情報設定よりも単純な解構造をもたらすのか。
• RQ4 異なるパrameter設定（例：双曲的対多項式的対正接的解）における最適戦略の構造的差異は何か。
• RQ5 動的計画法の証明を経ずに、検証定理を直接適用して最適性を確認できるか。

主な発見

• 最適消費方策は、フィルタリングされたドリフトと現在の習慣水準の関数として明示的に表現され、投資期間に応じた時間変動調整を伴う。
• リスク資産における最適ポートフォリオウェイトは、フィルタリングされたドリフトと残存期間の関数として、線形フィードバック構造を用いて閉形式で導出される。
• パrameter設定に応じて4つの異なる解のタイプ（双曲的、多項式的、正接的、臨界的）が出現し、それぞれ異なる定性的な挙動（有界または爆発的）を示す。
• 双曲的解はγ₂ < 0のとき有界であるのに対し、多項式的解はλ, p, ρ, σ_S, σ_μに特定の条件を満たす場合に有界である。
• 正接的解は爆発的であり、判別式Δ < 0のときに存在し、解が発散する臨界時刻が存在する。
• 検証定理により、動的計画法の完全な証明を経ずに、導出された方策の最適性が確認された。