[論文レビュー] An explicit formula for the determinant of the Abelian integral matrix

A. A. Glutsuk|ArXiv.org|Apr 7, 2000

advanced mathematical theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次数 $ n+1 $ の一般の多項式ハミルトニアンに関連するアーベル積分行列の行列式に対して明示的な公式を提示し、それが臨界値を根とするモニック多項式 $ n^2 $ 次であることを証明している。行列式は $ \prod_{i=1}^{n^2}(t - a_i) $ に比例し、比例定数 $ C(H) $ は、特殊関数および対称関数の恒等式を用いてハミルトニアンの同次部の係数の関数として明示的に計算されている。

ABSTRACT

We consider a polynomial h(x,y) in two complex variables of degree n+1>1 with a generic higher homogeneous part. The rank of the first homology group of its nonsingular level curve h(x,y)=t is n*n. To each 1- form in the variable space and a generator of the homology group one associates the (Abelian) integral of the form along the generator. The Abelian integral is a multivalued function in t. For a fixed canonic tuple of n*n monomial 1- forms we consider the multivalued square matrix function in t whose elements are the Abelian integrals of the forms along the generators. Its determinant does not depend on the choice of the generators in the homology group (up to change of sign, which corresponds to change of generator system that reverses orientation). In 1999 Yu.S.Ilyashenko proved that the determinant of the Abelian integral matrix is a polynomial in t of degree n*n whose zeroes are the critical values of h. We give an explicit formula for the determinant.

研究の動機と目的

• アーベル積分行列の行列式における定数 $ C(H) $ の明示的表現を導出すること。これは、以前はハミルトニアンの臨界値を根とする $ t $ の多項式であることが知られていた。
• 行列式がホモロジー基底の選択に依存する依存関係を解消し、符号を除いて不変であることを示し、正確な正規化係数を計算すること。
• 次数 $ n+1 $ の同次部 $ H $ の係数の関数として $ C(H) $ を行列構成および特殊関数を用いて表現すること。
• $ C(H) $ が $ H $ に関して二価関数であり、判別式超曲面 $ S $ に沿って分岐することを確立し、$ \Gamma $-関数および $ B $-関数の恒等式を用いて計算すること。

提案手法

• 次数 $ 0 \leq l,m \leq n-1 $ を満たす $ (l,m) $ でインデックス付けされた $ n^2 $ 個の単項1形式 $ \omega_j = y x^{l(j)} y^{m(j)} dx $ の標準的集合を定義する。
• 生成子 $ \alpha_r $ が $ H_1(h(x,y)=t, \mathbb{Z}) $ を生成するように、アーベル積分行列 $ I_{j,r}(t) = \int_{\alpha_r} \omega_j $ を構成する。
• 曲線の $ \varepsilon $-変形を用いた変形議論により、積分を $ I_j = \int_0^1 x^{l(j)} (1-x)^{m(j)} dx $ としてベータ関数に結びつける。
• すべての $ I_j $ の積を $ B $-関数の積として表現し、恒等式 $ B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b) $ を用いて $ \Gamma $-関数に変換する。
• ガウス・レジェンドルの乗法公式を用いて、有理数引数における $ \Gamma $-値の対称積を評価する。
• 行列式を $ \det(I_{j,r})(t) = C(H) \prod_{i=1}^{n^2}(t - a_i) $ として導出し、$ \Gamma $-積の恒等式および正規化定数を用いて $ C(H) $ を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列式 $ \det(I_{j,r})(t) = C(H) \prod_{i=1}^{n^2}(t - a_i) $ の定数 $ C(H) $ の正確な値は何か？
• RQ2 アーベル積分行列の行列式はホモロジー基底の選択にどのように依存するか。この依存関係は、正規化された一意的な表現を得るために取り除けるか？
• RQ3 行列式はハミルトニアンの同次部 $ H $ の係数に関して明示的に表現可能か？
• RQ4 $ C(H) $ の代数的構造は何か。$ H $ の退化の下での挙動はいかなるものか？
• RQ5 アーベル積分の積 $ \prod_{j=1}^{n^2} I_j $ に対して閉形式の表現が存在するか。また、それが特殊関数とどのように関係するか？

主な発見

• アーベル積分行列の行列式は、ハミルトニアン $ h $ の臨界値 $ a_i $ にちょうど根を持つモニック多項式 $ t $ について $ n^2 $ 次である。
• 行列式に現れる定数 $ C(H) $ は、ガウス・レジェンドルの公式を用いて、$ \Gamma $-関数の積および $ n+1 $ のべきの積として明示的に計算されている。
• 式として $ C(H) = (n+1)^{-n^2} \cdot \frac{\left( \prod_{l=0}^{n-1} \Gamma\left(\frac{l+1}{n+1}\right) \right)^n \left( \prod_{l=0}^{n-1} \Gamma\left(\frac{l+1}{n+1}+1\right) \right)^n}{\prod_{l,m=0}^{n-1} \Gamma\left(\frac{l+m+2}{n+1}+1\right)} $ が与えられ、これは $ n $ の有理関数に簡約される。
• 行列式は符号を除いてホモロジー基底に依存せず、一価関数であることが確認され、イルヤシェンコの予想が裏付けられた。
• 定数 $ C(H) $ は $ H $ に関して二価関数であり、判別式超曲面 $ S $ に沿って分岐する。また、$ H $ の係数の同次多項式として表現される。
• 最終的な $ C(H) $ の公式は、モデル曲線への変形およびベータ関数・ガンマ関数を用いた積分の評価により導出され、単位根を用いた正確な正規化が行われた。