[論文レビュー] An Explicit Formulation of the Earth Movers Distance with Continuous Road Map Distances

Kyle Treleaven, Emilio Frazzoli|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Transportation and Mobility Innovations参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続的一次元の道路網におけるEarth Mover’s Distance (EMD) の明示的定式化を提示し、ユークリッド距離よりも現実の輸送距離をより正確にモデル化する。EMD は線形制約を伴う凸最適化問題として定式化され、数学的プログラミングを用いた効率的な計算が可能であり、区分的定数分布では二次計画法に簡略化される。

ABSTRACT

The Earth movers distance (EMD) is a measure of distance between probability distributions which is at the heart of mass transportation theory. Recent research has shown that the EMD plays a crucial role in studying the potential impact of Demand-Responsive Transportation (DRT) and Mobility-on-Demand (MoD) systems, which are growing paradigms for one-way vehicle sharing where people drive (or are driven by) shared vehicles from a point of origin to a point of destination. While the ubiquitous physical transportation setting is the road network, characterized by systems of roads connected together by interchanges, most analytical works about vehicle sharing represent distances between points in a plane using the simple Euclidean metric. Instead, we consider the EMD when the ground metric is taken from a class of one-dimensional, continuous metric spaces, reminiscent of road networks. We produce an explicit formulation of the Earth movers distance given any finite road network R. The result generalizes the EMD with a Euclidean R1 ground metric, which had remained one of the only known non-discrete cases with an explicit formula. Our formulation casts the EMD as the optimal value of a finite-dimensional, real-valued optimization problem, with a convex objective function and linear constraints. In the special case that the input distributions have piece-wise uniform (constant) density, the problem reduces to one whose objective function is convex quadratic. Both forms are amenable to modern mathematical programming techniques.

研究の動機と目的

• 交通分野における連続的・非ユークリッドな基底距離計測の明示的EMD定式化の欠如に応える。
• 連続的な距離を有する有限の道路網上でEMDを計算可能な方法を構築する。
• 簡略化されたユークリッド距離計測の代わりに現実の道路網距離を用いることで、車両共有およびモビリティ・オン・デマンドシステムの正確なモデル化を可能にする。
• 連続的および区分的定数分布の両方をサポートするEMD計算の一般枠組みを提供する。

提案手法

• 任意のグラフ的トポロジーを有する、道路網をモデル化する1次元連続的距離空間のクラスを定義する。
• 道路網の正確なおよび経路ベースの近似を用いて、EMD の有限次元ネットワークフロー定式化を構築する。
• 凸目的関数と線形制約を伴う凸最適化問題としてEMDを定式化し、現代の数学的プログラミングソルバーの利用を可能にする。
• ε-タイル化を用いた極限的議論を導入し、正確な定式化と近似定式化の等価性を証明する。
• 連続的輸送問題を端点および水平接続エッジを有する有限ネットワークフロー問題に写像することで、EMD の明示的表現を導出する。
• 入力分布が区分的定数である場合に、問題を二次計画法に簡略化し、計算効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的・1次元的距離空間（現実の道路網に類似）に対して、Earth Mover’s Distance は明示的に定式化可能か？
• RQ2 離散的近似やユークリッド距離の仮定に依存せずに、有限の道路網上でEMDを効率的に計算する方法は何か？
• RQ3 基底距離計測が連続的ロードマップ距離である場合、EMD 定式化の計算複雑性と構造はいかなるものか？
• RQ4 密度が区分的定数である分布に対して、EMD 定式化を二次計画法に簡略化できるか？
• RQ5 提案されたEMD定式化は、モビリティ・オン・デマンドシステムにおける理論的スループット予測の正確性をどの程度向上させるか？

主な発見

• 本稿は、1次元の道路網を対象として、連続的・非ユークリッドな基底距離計測に対するEMDの最初の明示的定式化を提供する。
• EMD は線形制約を伴う有限次元の凸最適化問題として表現され、標準的な最適化技術による効率的解法が可能になる。
• 区分的定数分布の場合、EMD 定式化は凸二次計画問題に簡略化され、より高速かつスケーラブルな計算が実現できる。
• 細分化の極限において、定式化が真のEMDに収束することを、ε-タイル化に関する極限的議論により理論的に証明した。
• シミュレーション結果は、提案されたEMD定式化が、動的ピックアップ・デリバリー問題（DPDP）に基づく車両共有システムの最大理論的スループットを正確に予測可能であることを示している。
• 従来のDPDPモデルが簡略化されたユークリッド距離を用いていたという、主要な限界を克服し、都市モビリティシステムにおける移動コストのより現実的な表現を提供する。