[論文レビュー] An explicit Jacobian of dimension 3 with maximal Galois action

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、体ℚ上の最初の明示的な genus 3 曲線を提示する。そのヤコビアンは、捩れ点にわたるガロア作用が最大であり、ガロア表現が GSp₆(Ẑ) に全射であることを達成している。セールの予想と、還元型およびフロベニウストレースに関する計算的手法を用いて、mod-ℓ ガロア表現が非可約かつ原始的であり、移動変換を含むことを証明し、群論的基準により全射性を導出する。

ABSTRACT

We gives an explicit genus 3 curve over Q such that the Galois action on the torsion points of its Jacobian is a large as possible. That such curves exist is a consequence of a theorem of D. Zureick-Brown and the author; however, those methods do not produce explicit examples. We shall apply the general strategies of Hall and Serre in their open image theorems. We also make use of Serre's conjecture to show that the modulo ell Galois actions are irreducible. While we computationally focus on a single curve, the methods of this paper can be applied to a large family of genus 3 curves.

研究の動機と目的

• 体ℚ上の genus 3 曲線で、ヤコビアンの捩れ点にわたるガロア作用が最大であるような最初の明示的例を構成すること。
• ヤコビアンの 2-捩れ点および mod-ℓ 捩れ点にわたるガロア表現が GSp₆(Ẑ) に全射であることを証明すること。
• ハルとセールの開像定理の手法が、明示的曲線に対して効果的であることを示すこと。
• セールの予想を用いて mod-ℓ 表現の非可約性を確立し、全射性の証明を可能にすること。
• 単一の例に限らない、滑らかな平面四次曲線の広い族に適用可能な計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 悪還元の素数（S = {7, 11, 83}）におけるインertie群作用の解析にピカール・レフシェッツ公式を用い、ρJ,ℓ(Ip) が位数ℓの巡回群であることを示す。
• S ∪ {ℓ} に属さない非分岐素数 p におけるフロベニウス要素の特性多項式 Pp(T) ∈ ℤ[T] を計算し、mod ℓ で ρJ,ℓ(Frob_p) の特性多項式に還元されることを示す。
• セールの予想を適用し、mod-ℓ ガロア表現 ρJ,ℓ が非可約であることを証明する。特に 2 次元の合成因子の場合を含む。
• 背理法による J[ℓ] 上のガロア作用の原始性の証明：非原始的であると仮定すると、非分岐性および対称群の位数制約により矛盾が生じる。
• 命題 4.1 から得られる移動変換の像と、非可約・原始的かつ移動変換を含むことから、像が Sp₆(𝔽ℓ) を含むことが導かれ、全射性が得られる。
• 命題 2.1 を用いて、mod 2 表現 ρJ,2(Gℚ) = GSp₆(𝔽₂) を検証し、Ẑ 上での全射性を完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体ℚ上の明示的 genus 3 曲線を構成可能か？そのヤコビアンが捩れ点にわたるガロア作用が最大である場合。
• RQ2 ズーリック＝ブラウンとツワイナの抽象的存在結果を、具体的な例の構成によって効果的に行えるか？
• RQ3 セールの予想は、高次元のアーベル多様体における mod-ℓ ガロア表現の非可約性をどの程度まで確立できるか？
• RQ4 ハルとセールの開像定理は、ガロア表現の全射性を、捩れ点にわたる計算的にどのように適用できるか？
• RQ5 与えられた曲線に対して、ガロア像が GSp₆(Ẑ) 全体であることを検証するための計算的基準は何か？

主な発見

• ℙ²ℚ 上の四次方程式で定義される genus 3 曲線のヤコビアン J は、ガロア表現 ρJ(Gℚ) = GSp₆(Ẑ) を持ち、捩れ点にわたる作用が最大である。
• すべての奇素数 ℓ に対して、mod-ℓ ガロア表現 ρJ,ℓ は非可約であり、セールの予想と明示的なフロベニウストレース計算により証明された。
• すべての奇素数 ℓ に対して、J[ℓ] 上のガロア作用は原始的である。非分岐性と対称群の位数制約を用いた背理法により示された。
• すべての奇素数 ℓ に対して、ρJ,ℓ の像に移動変換が含まれる。これは、素数 p ∈ {7, 11} におけるピカール・レフシェッツ公式から示された。
• mod 2 表現 ρJ,2 は GSp₆(𝔽₂) 全体に全射であり、Ẑ 上での全射性の証明を完成させた。
• 本手法は、特定の曲線に限らず、滑らかな平面四次曲線の広い族に一般化可能である。