[論文レビュー] An explicit P1 finite element scheme for Maxwell's equations with constant permittivity in a boundary neighborhood

Larisa Beilina, Vitoriano Ruas|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、境界層における定数誘電率を有するマクスウェル方程式を解くために、標準的な線形要素と明示的時間積分を用いた安定な明示的P1有限要素スキームを提示する。古典的なCFL条件と発散捕捉安定化のもとで、電場近似に関して自然なノルムで最適なO(h)収束が証明される。

ABSTRACT

This paper is devoted to the complete convergence study of the finite-element approximation of Maxwell's equations in the case where the magnetic permeability is constant. Standard linear finite elements for the space discretization are combined with a well-known explicit finite-difference scheme for the time discretization. The analysis applies to the particular case where the dielectric permittivity has a constant value outside a sub-domain, whose closure does not intersect the boundary of the problem-definition domain. Optimal convergence results are established in natural norms under reasonable assumptions, provided a classical CFL condition holds. A numerical validation of the theoretical results is provided.

研究の動機と目的

• 境界隣接領域における定数誘電率を有するマクスウェル方程式に適用された明示的P1有限要素法の完全な収束解析を確立すること。
• 特定の物性条件のもとで、標準的な連続的P1有限要素と明示的時間離散化を組み合わせることで、最適収束が達成されることを示すこと。
• ノードラル有限要素に起因する偽の解を回避するため、変分定式化に発散自由制約を組み込むこと。
• 誘電率が厳密に1でないが、正の定数で下から有界である場合にまで収束解析を拡張すること。
• 誘電率関数の正則性が最小限である場合、特に内部層でε < 1である場合を含めて、スキームの頑健性を検証すること。

提案手法

• 非構造化メッシュ上での標準的連続的P1有限要素による空間離散化により、単純性と効率性を確保する。
• 明示的中心差分スキームによる時間離散化により、各ステップで線形方程式系を解く必要がなく、明示的時間積分を実現する。
• 電場の発散自由条件を強制する修正された変分定式化による安定化により、偽モードを防止する。
• ループ質量行列の使用により、明示的時間積分を維持し、計算効率を向上させる。
• 非多項式的誘電率関数の数値積分に台形則を適用し、やや弱い正則性仮定のもとで安定性を保持する。
• ε < 1 の場合に対応するため、ε_min を含む修正された補助問題を導入し、双曲的性と収束性を保証するように変分形を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘電率が境界付近で定数である場合に、明示的P1有限要素スキームがマクスウェル方程式に対して最適収束を達成できるか？
• RQ2 時間領域マクスウェルソルバーにおいて、ノードラル有限要素に起因する偽の解を効果的に抑制する方法は何か？
• RQ3 領域内でε < 1 となる場合に、安定性と収束性を維持するための変分定式化への必要な修正は何か？
• RQ4 この明示的P1スキームにおいて、CFL条件が安定性に十分であるとされる条件は何か？
• RQ5 誘電率が定数でないが正の定数で下から有界である場合に、収束解析をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 誘電率が境界近傍で定数である限り、古典的CFL条件のもとで、電場のL2ノルムにおいて最適なO(h)収束が達成される。
• ε_min > 2/3 であれば、内部で誘電率が1未満であっても、スキームは安定かつ収束する。これは補助問題の双曲的性を保証する。
• 発散自由制約は修正された変分定式化により効果的に強制され、H(curl)-適合要素を必要とせず、偽の解が排除される。
• εが定数でないが正の定数で下から有界である場合にも収束結果が拡張可能であり、収束速度は補助問題の解の正則性に依存する。
• 非滑らかな誘電率関数の積分に台形則を用いることで、安定性が保持され、収束次数が劣化しない。
• 2次元への一般化は本質的に変更を要せず、同じ定性的な収束結果が得られる。