[論文レビュー] An explicit rough path construction for continuous paths with arbitrary Holder exponent

Jérémie Unterberger|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の Hölder 指数をもつ d 次元連続パスに対して、反復積分の順序を高周波成分を優先する形に再編成する独創的な「フーリエ正規順序化」手法を用いて、幾何的粗いパスの明示的構成を提示する。装飾付き根付き木上のホップ代数構造を活用することで、複雑な木の組み合わせ論を解消し、先行研究の分数ブラウン運動への応用を、任意の ® ∈ (0,1) に対して Hölder 連続で 1/®-変動が有限な一般のパスへと拡張する。

ABSTRACT

We construct in this article an explicit geometric rough path over arbitrary d-dimensional paths with finite 1/®-variation for any ® 2 (0,1). The method is a rather straightforward extension of that used in a previous article [20] for multi-dimensional fractional Brownian motion. It may be coined as ’Fourier normal ordering’ since it consists in a regularization obtained after permuting the order of integration in iterated integrals so that innermost integrals have highest Fourier frequencies. In doing so, there appear non-trivial tree combinatorics, which are best understood by using the Hopf algebra structure of decorated rooted trees. The new feature here (compared to [20]) is

研究の動機と目的

• 分数ブラウン運動を超えて、任意の d 次元連続パス（1/®-変動が有限）に対して幾何的粗いパスの構成を拡張すること。
• 任意の Hölder 指数 ® ∈ (0,1) をもつパスにおける反復積分を取り扱う課題に取り組むこと。
• 周波数に基づく積分順序の再編成によって反復積分を正則化する体系的な手法を開発すること。
• 多重積分に伴う木の組み合わせ論を、装飾付き根付き木の代数的構造を用いて扱うこと。
• より広範な不規則パスのクラスに適用可能な、強固な粗いパス理論の枠組みを確立すること。

提案手法

• 内側の積分で周波数が最も高い成分を優先するように積分順序を再編成する正則化技術「フーリエ正規順序化」を導入する。
• 1/®-変動が有限なパスの反復積分にこの再編成を適用し、収束性および幾何的粗いパスの性質を保証する。
• 装飾付き根付き木上のホップ代数構造を用いて、多重積分に伴う組み合わせ的複雑性を体系的に管理する。
• 周波数順序付き正則化を用いて、任意の Hölder 指数をもつ連続パスのリフトを幾何的粗いパスとして構成する。
• 得られたパスが任意の p > 1/® に対して p-変動が有限であり、幾何的粗いパスとして必要な代数的・解析的性質を満たすことを示す。
• 先行研究の分数ブラウン運動への適用を、指数に制限のない任意の Hölder 連続パスへと一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の Hölder 指数 ® ∈ (0,1) をもつ連続パスに対して、幾何的粗いパスをどのように明示的に構成できるか。
• RQ2 分数ブラウン運動を超える不規則なパスの反復積分の収束を可能にする正則化機構は何か。
• RQ3 粗いパスのリフトにおいて、反復積分の複雑な組み合わせ論を体系的に管理する方法は何か。
• RQ4 標準的な積分順序と比較して、フーリエ正規順序化は反復積分の収束性と構造にどのように寄与するか。
• RQ5 装飾付き根付き木上のホップ代数フレームワークは、ガウス過程に限らない一般の拡張に有効に応用可能か。

主な発見

• 本稿では、任意の d 次元連続パス（1/®-変動が有限）および任意の ® ∈ (0,1) に対して、幾何的粗いパスの構成に成功した。
• 「フーリエ正規順序化」手法により、内側の積分で高周波成分を優先することで、反復積分の収束が保証される。
• 装飾付き根付き木とそのホップ代数構造の使用により、発生する組み合わせ的複雑性を体系的かつ代数的に扱うフレームワークが提供される。
• 構成は、先行研究の分数ブラウン運動への応用を、非マルコフ的・非ガウス的過程を含むより広いクラスのパスへと一般化する。
• 得られた粗いパスは、すべての p > 1/® に対して p-変動が有限であり、必要なチェンの恒等式および連続性条件を満たす。
• 本手法は、自己相似性やガウス過程に制限されない、新しい明示的かつ解析的に取り扱いやすい粗いパス構成法を確立する。