[論文レビュー] An exponential fitting scheme for general convection-diffusion equations on tetrahedral meshes

Raytcho Lazarov, Ludmil Zikatanov|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、四面体メッシュ上での対流拡散反応方程式に対して、上流化を避けながらフラックス構造を変分式に直接組み込むことで、新規の指数適合有限要素法を提案する。この手法は、最小限の解の正則性のもとで安定性と1次収束性を保証し、メッシュ依存の条件下で単調性が確立される。異方的拡散を伴う特異摂動問題に対して、強固な代替手法を提供する。

ABSTRACT

This paper contains construction and analysis a finite element approximation for convection dominated diffusion problems with full coefficient matrix on general simplicial partitions in $R^d$, $d=2,3$. This construction is quite close to the scheme of Xu and Zikatanov (Math. Comp. 1999) where a diagonal coefficient matrix has been considered. The scheme is of the class of exponentially fitted methods that does not use upwind or checking the flow direction. It is stable for sufficiently small discretization step-size assuming that the boundary value problem for the convection-diffusion equation is uniquely solvable. Further, it is shown that, under certain conditions on the mesh the scheme is monotone. Convergence of first order is derived under minimal smoothness of the solution.

研究の動機と目的

• 非構造的四面体メッシュ上での対流優勢な対流拡散問題に対して、安定かつ単調な有限要素法の開発を目的とする。
• 標準ガレルキンFEMの限界、例えば境界層および内部層における物理的でない振動や単調性の喪失を解消することを目的とする。
• 上流化や流れの方向検出に依存せずに、対流拡散構造を内蔵的に尊重するスキームの構築を目的とする。
• 解および問題データに対する最小限の正則性仮定のもとで、1次収束を保証することを目的とする。
• 指数適合法を、一般の単体分割および一般の（おそらく異方的）拡散行列を有する問題へと拡張することを目的とする。

提案手法

• 本手法は、フラックス $ J(u) = D\nabla u + \mathbf{b}u $ を変分式に直接組み込んだ修正された双線形形式を用いる。
• 要素の辺上での拡散および対流項の調和平均を用いて離散問題を構築し、一貫性および安定性を保持する。
• フラックス勾配に基づく摂動項を含む変分式から導出されるスキームであり、指数適合挙動を保証する。
• 対流項の方向的挙動をフラックス再構築により離散双線形形式に埋め込むことで、上流化を回避する。
• 離散インフラ・サブ条件および $ p > d $ におけるフラックスおよび解の $ W^{1,p} $-半ノルムを含む推定に依拠した解析である。
• 特に悪条件な拡散行列に対して有効なように、離散系の条件数を改善するためのスケーリング関数 $ \alpha(x) $ を用いた変数変換が導入される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の対流拡散問題に対して、四面体メッシュ上に上流化を避けつつ、安定性と単調性を維持する有限要素スキームを構築できるか？
• RQ2 メッシュおよび問題データにどのような条件が課されると、離散インフラ・サブ条件が成立し、結果としてスキームの一意解が保証されるか？
• RQ3 指数適合機構は、対流優勢問題における標準ガレルキンFEMと比較して、安定性および収束性をどのように改善するか？
• RQ4 解およびデータに対する最小限の正則性仮定のもとで、本手法が1次収束を達成できるか？
• RQ5 本手法は、例えば多孔質媒体流におけるような、異方的かつ悪条件な拡散行列に対しても、どのように適応可能か？

主な発見

• 連続問題が一意的に解をもつ限り、十分に小さいメッシュサイズ $ h $ に対して、提案スキームは安定である。
• 離散スキームの単調性は、$ \|\mathbf{b}\|_{1,\infty,T} $ を含むメッシュ依存の条件のもとで確立され、離散最大原理が保証される。
• 解 $ u \in W^{1,p}(T) $、フラックス $ J(u) \in (W^{1,p}(T))^d $、および $ \gamma \in C(\overline{T}) $ を仮定すると、エネルギーノルムにおける1次収束が証明される。ここで $ p > d $ である。
• 収束推定値は、フラックス $ J(u) $ および解 $ u $ の $ W^{1,p} $-半ノルムに依存し、境界層および内部層の影響を反映している。
• 拡散行列 $ D(x) $ が悪条件であっても、適切なスケーリング関数 $ \alpha(x) $ を組み合わせることで、本手法は依然としてロバストである。
• 本手法は、行列値反応項を有する系および非線形対流を含む系へ自然に一般化可能であり、多成分輸送モデルへの応用が可能である。