[論文レビュー] An exponentially convergent discretization for space-time fractional parabolic equations using $hp$-FEM

Jens Markus Melenk, Alexander Rieder|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2022

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Caputo時間微分とスペクトル的分数ラプラシアン作用素を伴う空間時間分数型放物型方程式を解くために、$hp$-有限要素法（$hp$-FEM）とsinc求積を組み合わせた手法を提示する。この手法は、リエス・ダンフォード関数計算とコーナー付近の幾何的メッシュ細分化を活用することで、初期データの不一致に起因するスタートアップ特異性が存在しても、空間および時間において指数的収束を達成する。

ABSTRACT

We consider a space-time fractional parabolic problem. Combining a sinc-quadrature based method for discretizing the Riesz-Dunford integral with $hp$-FEM in space yields an exponentially convergent scheme for the initial boundary value problem with homogeneous right-hand side. For the inhomogeneous problem, an $hp$-quadrature scheme is implemented. We rigorously prove exponential convergence with focus on small times $t$, proving robustness with respect to startup singularities due to data incompatibilities.

研究の動機と目的

• Caputo時間微分と分数ラプラシアン作用素を伴う空間時間分数型放物型問題に対する、ロバストで高次精度の数値スキームの開発。
• 分数拡散問題における初期データと境界条件の不一致に起因するスタートアップ特異性の課題への対処。
• 滑らかでない初期データに対しても、$hp$-FEMとsinc求積を用いて、空間および時間で指数的収束率を達成すること。
• 関数計算と求積技術を用いて、古典的放物型の場合を越えた時間依存分数型問題への$hp$-FEMの適用範囲の拡張。
• 初期条件に関する抽象的仮定の下で、時間・空間エネルギーノルムの弱い意味でのロバスト収束の証明、特に小時間における時間ノルムの退化の克服。

提案手法

• 分数乗作用素$\mathcal{L}^\beta$の表現にリエス・ダンフォード関数計算を用い、滑らかな曲線積分で表す。
• 指数的収束を実現するように最適化されたパラメータを有するsinc求積を用いて、曲線積分を離散化。
• 領域のコーナー付近に幾何的メッシュを集中させた$hp$-有限要素を空間に適用し、特異性を解消。
• 非同次問題に対して$hp$-求積スキームを実装し、時間方向に指数的収束を保証。
• シフトされた問題$(z_j - \mathcal{L})^{-1}$の解を再利用することで、線形方程式系の解法回数を最小化する計算順序の再構成。
• 有限要素アセンブリおよび$hp$-細分化を伴う幾何的メッシュ生成のため、NGSolveソフトウェアパッケージを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Caputo微分を伴う時間依存空間時間分数型放物型問題に対して、$hp$-FEMとsinc求積を組み合わせた手法が指数的収束を達成できるか。
• RQ2 初期条件と境界データの不一致に起因するスタートアップ特異性は、この手法でどのように処理できるか。
• RQ3 時間$t>0$における小時間でのノルム退化が収束見積もりに与える影響は何か。また、その影響をどのように軽減できるか。
• RQ4 初期データに最小限の仮定を置いた場合、弱い空間時間エネルギーノルムにおいても指数的収束を維持できるか。
• RQ5 求積パラメータ$k$と$\mathcal{N}_{\textrm{q}}$の選択が収束速度およびロバスト性に与える影響は何か。

主な発見

• 滑らかな解を伴う数値実験により、$\mathcal{N}_\Omega$（自由度数）に関して$L^2(\Omega)$ノルムで指数的収束が確認された。
• 不一致データに対しても、$\mathcal{N}_\Omega^{1/4}$に関して指数的収束が観察され、特異性に対してロバストであることが示された。
• sinc求積誤差見積もりが$t^{-\gamma}$から$t^{-\gamma/2}$に改善され、小時間における安定性が向上した。
• 効率的な順序再構成により、$\mathcal{N}_{\textrm{q}}$回の線形方程式系の解法で済むため、計算効率が良好である。
• 数値結果により、正確な解が未知であっても、適合するデータおよび不適合データの両方で指数的収束が確認された。
• 終了時刻$t=0.001$、$t=0.1$、$t=1$のいずれに対しても収束率がロバストであり、不適合ケースでは誤差が$\mathcal{O}(e^{-0.7\mathcal{N}_\Omega^{1/4}})$のオーダーで減少した。