[論文レビュー] An extended existence result for quadratic BSDEs with jumps with application to the utility maximization problem

Marie Amélie Morlais|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限でないLévy測度（無限の活動性）を許容する一般的な設定のもとで、跳躍付き2次後向き stochastic 微分方程式（BSDE）の新たな存在結果を確立する。これは、従来の研究が有限Lévy測度を仮定していたのを拡張したものである。手法は動的計画法と補助BSDEを用い、不連続なフィルトレーションを伴う跳躍拡散モデルにおけるポートフォリオ制約下での指数的効用最大化問題を解くものである。

ABSTRACT

In this study, we consider the exponential utility maximization problem in the context of a jump-diffusion model. To solve the problem, we rely on the dynamic programming principle and we derive from it a quadratic BSDE with jumps. Since this quadratic BSDE is driven both by a Wiener process and by a Poisson random measure having a Levy measure with infinite mass, our main task consists in establishing a new existence result for the specific BSDE introduced.

研究の動機と目的

• 2次BSDEの跳躍付き存在理論を、有限Lévy測度の仮定を越えて拡張すること。
• 不連続なフィルトレーション下でのポートフォリオ制約下における指数的効用最大化問題を解くこと。
• 特定の跳躍付き2次BSDEを用いて、価値過程と最適戦略を特徴付けること。
• 任意の有界終端条件に対して、補助BSDEの解と元のBSDEの解との間の対応関係を確立すること。
• 価値関数と最適投資戦略の明示的動的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 効用最大化問題に動的計画法を適用することで、跳躍付き2次BSDEを導出する。
• 有界終端条件下での存在問題に対処するため、生成子を変更した補助BSDEを導入する。
• 終端条件のノルム制約の下で、固定点法を用いて補助BSDEの解の存在を証明する。
• 任意の有界終端変数に対して、明示的な近似スキームを用いて元のBSDEの解を構成する。
• 補助BSDEと元のBSDEの解の間の1対1対応関係を確立する。
• 元のBSDEの解を用いて、マルティンググ・最適性原理により価値過程と最適戦略を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy測度が無限質量を有する場合に、跳躍付き2次BSDEの解の存在を確立できるか？
• RQ2 不連続なフィルトレーション下でのポートフォリオ制約下における動的計画法は、どのように効用最大化問題に適用できるか？
• RQ3 補助BSDEの解と元の跳躍付き2次BSDEの解との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 価値過程と最適戦略は、BSDEの解を用いてどのように明示的に特徴付けられるか？
• RQ5 跳躍拡散モデルにおける指数的効用の下で、最適投資戦略の存在を保証する条件は何か？

主な発見

• Lévy測度が無限である場合の跳躍付き2次BSDEの新たな存在結果が確立され、従来の有限Lévy測度を要請する結果を拡張した。
• 元のBSDEの解は、任意の有界終端条件に対して、補助BSDEを用いた明示的構成により存在することが示された。
• 効用最大化問題の価値過程は、元の跳躍付き2次BSDEの解として特徴付けられる。
• 最適かつ許容可能な戦略が存在し、その戦略はBSDEのZおよびU成分を含む2次式の点별最小化によって特徴付けられる。
• 最適戦略は、P-ほとんど everywhere で、すべてのtに対して π* ∈ argminπ∈C(½α|πσ − (Z + θ/α)|² + |U − πβ|α) を満たす。
• 価値関数は、V(x) = −exp(−α(x − Y₀)) として明示的に与えられ、ここでY₀はBSDE解の初期値である。