[論文レビュー] An extended liouville equation for variable particle number systems

Michael H. Peters|ArXiv.org|Sep 28, 1998

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、粒子生成および消失を組み込む一般化された力学的枠組みを導入することで、粒子数が変化する系に古典的リウヴィル方程式を拡張する。イービングおよびキルコックの手法を用いて、任意の力学的変数に対する一般化された保存則を導出し、そこから源項を伴う粒子数保存則が導かれる。グランドカノニカル集合分布が定常解として得られることを示し、非平衡統計力学における開放系への適用の妥当性が裏付けられる。

ABSTRACT

It is well-known that the Liouville equation of statistical mechanics is restricted to systems where the total number of particles (N) is fixed. In this paper, we show how the Liouville equation can be extended to systems where the number of particles can vary, such as in open systems or in systems where particles can be annihilated or created. A general conservation equation for an arbitrary dynamical variable is derived from the extended Liouville equation following Irving and Kirkwood's2 technique. From the general conservation equation, the particle number conservation equation is obtained that includes general terms for the annihilation or creation of particles. It is also shown that the grand canonical ensemble distribution function is a particular stationary solution of the extended Liouville equation, as required. In general, the extended Liouville equation can be used to study nonequilibrium systems where the total number of particles can vary.

研究の動機と目的

• 固定粒子数系に限らないリウヴィル方程式の一般化により、粒子数が変化する系を扱えるようにすること。
• 粒子生成・消失を伴う系に対して一貫性のある統計力学的枠組みが欠如している問題に対処すること。
• 変動粒子数の文脈において、イービングおよびキルコックの手法を用いて任意の力学的変数に対する一般化された保存則を導出すること。
• グランドカノニカル集合分布関数が拡張された方程式の定常解であることを示すこと。
• 粒子数が保存されない開放系における非平衡統計力学の研究を可能にすること。

提案手法

• 時間に依存する粒子数を源項を介して位相空間の時間発展に組み込むことで、拡張されたリウヴィル方程式を導出する。
• 拡張されたリウヴィル方程式にイービングおよびキルコックの手法を適用し、任意の力学的変数に対する一般化された保存則を導出する。
• 一般保存則から導かれる粒子数保存則に、粒子生成および消失の一般項を導入する。
• 変動Nを伴う系の統計的状態を位相空間密度関数で記述することで、標準的リウヴィル形式を拡張する。
• グランドカノニカル分布が拡張されたリウヴィル方程式の定常解として満たされることを示す。
• グランドカノニカル集合が拡張された力学的発展のもとで保存されることを示すことにより、枠組みの数学的整合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子総数が保存されない系を記述するため、リウヴィル方程式をどのように一般化できるか？
• RQ2 粒子数が変動する系において、力学的変数に対する一般保存則はどのような形をとるか？
• RQ3 粒子生成および消失プロセスは、多体系の統計的記述にどのように数学的に組み込まれるか？
• RQ4 グランドカノニカル集合分布関数は、拡張されたリウヴィル方程式の定常解であるか？
• RQ5 拡張された形式は、粒子数が揺らぐ開放系における非平衡ダイナミクスを記述できるか？

主な発見

• 拡張されたリウヴィル方程式は、位相空間発展方程式における源項を通じて、粒子生成および消失を効果的に組み込んでいることが示された。
• 任意の力学的変数に対する一般保存則が導出され、それが源項を伴う一貫性のある粒子数保存則に還元されることを示した。
• グランドカノニカル集合分布関数が、拡張されたリウヴィル方程式の定常解であることが証明され、統計力学の要請を満たしている。
• 本形式は、粒子数が変動する開放系における非平衡統計力学の研究を一貫して行うための枠組みを提供する。
• イービングおよびキルコックの手法が変動N系へと拡張可能であり、保存則が保たれることを導出により確認した。
• 本モデルにより、ハミルトニアン統計力学の枠組み内で粒子数の変化を伴う不可逆的プロセスを記述できるようになった。