[論文レビュー] An extension and trace theorem for functions of H-bounded variation in Carnot groups of step 2

Christina Selby|ArXiv.org|Oct 17, 2005

Dermatological and Skeletal Disorders参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2段階のカルノー群におけるH有界 variation関数の拡張およびトレース定理を確立する。H適正領域（非特徴的領域およびヘイセンベルク型の対称領域を含む）の概念を導入し、$BV_H(\theta)$ に属する関数が全 variation が制御されたまま $BV_H(\mathbb{G})$ に拡張可能であることを証明する。主な結果は、減少境界におけるトレースの $L^1$-ノルムが $BV_H$-半ノルムによって有界であることを示すトレース定理である。

ABSTRACT

This paper provides an extension for a function $u \in BV_H(Ω)$ to a function $u_0 \in BV_H(G)$ when $Ω$ is ``H-admissible,'' and G is a step 2 Carnot group. It is shown that H-admissible domains include non-characteristic domains and domains in groups of Heisenberg type which have a partial symmetry about characteristic points. An example is given of a domain that is $C^{1,α}$, $α<1$, that is not H-admissible. Further, when $Ω$ is H-admissible a trace theorem is proved for $u \in BV_H(Ω)$.

研究の動機と目的

• 2段階のカルノー群 $\mathbb{G}$ におけるH適正領域 $\Omega$ に対して、$BV_H(\Omega)$ に属する関数を $BV_H(\mathbb{G})$ に拡張すること。
• 上近似極限および下近似極限を用いて、$u \in BV_H(\Omega)$ の $\partial\Omega$ におけるトレースを定義し、特徴づけること。
• トレースの $L^1$-ノルムが $u$ の $BV_H$-半ノルムによって制御されることを示すトレース不等式を証明すること。
• 近似極限が異なる点からなるジャンプ集合 $F$ の可縮性および積分収束性を確立すること。
• $\alpha < 1$ である $C^{1,\alpha}$ 領域がH適正でないことがあることを示し、H適正性条件の鋭さを強調すること。

提案手法

• 2つの条件（i）$\mathcal{S}^{Q-1}_d(\partial\Omega \setminus \partial^*_{*,H}\Omega) = 0$ および（ii）$\partial^*_{*,H}\Omega$ 上での局所的測度比較条件）によってH適正領域を定義する。
• Franchi, Serapioni, Serra Cassano（2004）による有限H境界の構造定理を用い、$\partial^*_{*,H}\Omega$ が $\mathcal{S}^{Q-1}_d$-可縮的であることを保証する。
• 拡張関数 $u_0$ の上近似極限および下近似極限の和としてトレース $u^*(x) = \mu_{u_0}(x) + \lambda_{u_0}(x)$ を定義する。
• 文献[12]のブロウアップ定理を適用し、可縮的点において半空間 $S_H^\pm(\nu)$ を特定し、片側極限を分析する。
• GarofaloとNheiu（1998）のPoincaré不等式および修正されたJohn-Nirenberg型推定を用いて、$F$ の近傍における $u - U(x)$ の $L^{Q/(Q-1)}$-ノルムを制御する。
• BV_H関数の共面積公式およびレベル集合の構造を活用し、トレースノルムを $BV_H$-半ノルムによって有界化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの領域 $\Omega \subset \mathbb{G}$ に対して、$u \in BV_H(\Omega)$ が全 variation が一様に制御されるように $u_0 \in BV_H(\mathbb{G})$ に拡張可能か？
• RQ2 2段階のカルノー群におけるH適正領域の正確な定義と幾何的意味は何か？
• RQ3 H適正領域 $\Omega$ に対して、$BV_H(\Omega)$ に属する関数の $\partial\Omega$ におけるトレースはどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ4 ジャンプ不連続点 $F$ の近傍における $u$ の $L^{Q/(Q-1)}$-平均化性は何か？
• RQ5 $\alpha < 1$ である $C^{1,\alpha}$ 領域がH適正でないことがあるか？ これはH適正性条件の鋭さに何を示唆するか？

主な発見

• H適正領域は、測度論的および局所的比較条件によって定義され、非特徴的領域およびヘイセンベルク型群における特定の対称領域を含む。
• トレース $u^*$ は、拡張関数 $u_0$ の上近似極限および下近似極限の和として適切に定義され、ある $M = M(\Omega)$ に対して $\int_{\partial_{*,H}\Omega} |u^*|\, d\mathcal{S}^{Q-1}_d \leq M \|u\|_{BV_H(\Omega)}$ を満たす。
• 近似不連続点のジャンプ集合 $F$ は可算個の $\mathcal{S}^{Q-1}_d$-可縮的集合から成り、$\mathcal{S}^{Q-1}_d$-ほとんど everywhere での $x \in F$ に対して、$\nu(x)$ を法線ベクトルとすると、$\lambda(x) < s < \mu(x)$ の範囲で $\nu_{A_s}(x) = \nu(x)$ が成り立つ。
• $\mathcal{S}^{Q-1}_d$-ほとんど everywhere での $x \in F$ に対して、半空間 $S_H^\pm(\nu(x))$ 沿いの $u$ の片側極限はそれぞれ $\mu(x)$ および $\lambda(x)$ に等しい。
• $r \to 0$ のとき、$x \in \mathbb{G} \setminus F$ を中心とする球および $F$ の近傍における半空間において、$u - U(x)$ の $L^{Q/(Q-1)}$-ノルムは消える。これは強いLebesgue点の性質を確認する。
• 反例を構成した：$\alpha < 1$ である $C^{1,\alpha}$ 領域がH適正でない例であり、H適正性条件が通常の滑らかさからは導かれないことを示している。