[論文レビュー] An extension of a theorem of Kesten to topological Markov chains

Manuel Stadlbauer|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、位相的マルコフ連鎖の群拡大に対する、群のアメニタリティとスペクトル半径に関するケステンの定理を拡張する。群のアメニタリティが、連続性と対称性の弱い仮定の下で、拡大系と基本系のGurevich圧力が等しいことを示す。逆は、ホルダー連続性および大画像／大逆像条件を満たす場合に成り立ち、周期的双曲多様体への応用が行われる。

ABSTRACT

The main results of this note extend a theorem of Kesten for symmetric random walks on discrete groups to group extensions of topological Markov chains. In contrast to the result in probability theory, there is a notable asymmetry in the assumptions on the base. That is, it turns out that, under very mild assumptions on the continuity and symmetry of the associated potential, amenability of the group im- plies that the Gureviy of the extension and the base coincide whereas the converse holds true if the potential is Holder continuous and the topological Markov chain has big images and preimages. Finally, an application to periodic hyperbolic manifolds is given. MSC 2000. 37A50, 37C30, 20F69 1 Introduction and statement of main results The motivation for the analysis of the change of pressure under group extensions stems from the attempt to relate two classical results from probability theory and geometry on the amenability of discrete groups. The probabilistic result was obtained by Kesten in (11) and characterises amenability in terms of the spectral radius of the Markov operator associated to a symmetric random walk, that is a group G is amenable if and only if the spectral radius of the operator acting on l 2 (G) is equal to 1. The following counterpart in geometry was discovered by Brooks ((3)) using a completely different method. Assume that G is a Kleinian group acting on hyperbolic space H n+1 with exponent of convergence δ(G) bigger than n/2 and that N ⊳G is a normal subgroup. Then the bottoms of the spectra of the Laplacians on H/G and H/N are equal if and only if G/N is amenable. Or

研究の動機と目的

• 離散群上の対称的ランダムウォークにおけるケステンのスペクトル半径による群アメニタリティの特徴付けを、位相的マルコフ連鎖の群拡大へ一般化すること。
• 群のアメニタリティと拡大系のGurevich圧力との関係を調査すること。
• 拡大系と基本系のGurevich圧力が一致する条件を同定すること。
• 結果の前向きと逆向きの方向における仮定の非対称性を特定すること。
• 得られた結果を幾何的状況、特に周期的双曲多様体に応用すること。

提案手法

• 群値遷移を伴う位相的マルコフ連鎖の理論を用いて、群的遷移を有する力学系をモデル化する。
• 特にGurevich圧力を利用した圧力関数とポテンシャル理論を適用し、系のスペクトル的性質を分析する。
• 圧力関数の正則性を保証するため、ポテンシャルに連続性および対称性の仮定を課す。
• ホルダー連続性のポテンシャルおよび大画像／大逆像性質を用いて、結果の逆方向を確立する。
• 幾何的群論およびラプラシアンのスペクトル理論の結果を活用し、ブルックスの定理と接続する。
• 群拡大の枠組みを用いて、基本系の力学と拡大系の圧力・スペクトル的性質との関連を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群のアメニタリティが、基本系と拡大系のGurevich圧力が等しくなる条件は何か？
• RQ2 逆に、等しい圧力が群のアメニタリティを示すために追加で必要な仮定は何か？
• RQ3 両方向における仮定の非対称性は、結果の適用可能性にどのように影響するか？
• RQ4 この力学的結果は、特に双曲空間においてどのような幾何的文脈に応用可能か？
• RQ5 ホルダー連続性および大画像／大逆像性質は、逆方向における圧力比較にどのように影響するか？

主な発見

• 群のアメニタリティが成り立つ限り、ポテンシャルに関する弱い連続性および対称性の仮定の下で、拡大系と基本系のGurevich圧力が等しくなる。
• 逆に、等しいGurevich圧力が群のアメニタリティを示すためには、ポテンシャルがホルダー連続であり、位相的マルコフ連鎖が大画像および大逆像を持つ必要がある。
• 古典的確率論の結果とは異なり、この結果は前向きと逆向きの仮定に顕著な非対称性を示す。
• この枠組みにより、ケステンのスペクトル半径定理が位相的マルコフ連鎖の群拡大の設定へ自然に拡張された。
• 周期的双曲多様体への応用が提示され、力学的圧力結果と幾何的群論が結びつけられた。
• 圧力およびスペクトル解析を通じて、ラプラシアンのスペクトル下限に関するブルックスの定理と接続が確立された。