[論文レビュー] An Extension of Barbashin-Krasovski-LaSalle Theorem to a Class of Nonautonomous Systems

Radu Bălan|ArXiv.org|Jun 22, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、バーバシニ・クラソフスキー・ラスールの不変性原理を、リャプノフ関数の微分の零点集合上でベクトル場が時不変である非-autonomous系のクラスに拡張する。この集合上で制限されたダイナミクスが時不変かつ漸近安定であると仮定することで、全系は一様漸近安定性を達成する。主な貢献は、線形の検出可能性結果の非線形拡張と、ハミルトニアン・ジャコビ方程式を用いたアフィン制御系のロバスト安定化可能性の十分条件の提示である。

ABSTRACT

In this paper we give an extension of the Barbashin-Krasovski-LaSalle Theorem to a class of time-varying dynamical systems, namely the class of systems for which the restricted vector field to the zero-set of the time derivative of the Liapunov function is time invariant and this set includes some trajectories. Our goal is to improve the sufficient conditions for the case of uniform asymptotic stability of the equilibrium. We obtain an extension of an well-known linear result to the case of zero-state detectability (given (C,A) a detectable pair, if there exists a positive semidefinite matrix P>=0 such that: A^TP+PA+C^TC=0 then A is Hurwitz - i.e. it has all eigenvalues with negative real part) as well as a result about robust stabilizability of nonlinear affine control systems.

研究の動機と目的

• リャプノフ関数微分の零点集合上でベクトル場が時不変であるような時変系に、バーバシニ＝クラソフスキー＝ラスールの不変性原理を拡張すること。
• 古典的ラスール定理よりも弱い仮定の下で、非-autonomous系における平衡点の均一漸近安定性の十分条件を確立すること。
• 線形系における検出可能性結果（(C,A) が検出可能であり、AᵀP + PA + CᵀC = 0 が P ≥ 0 を満たすならば A はハーヴィッツである）を、強いゼロ状態検出可能性を用いて非線形系に一般化すること。
• ハミルトニアン・ジャコビ不等式を用いて、時不変および時変摂動を受ける非線形アフィン制御系のロバスト安定化可能性の十分条件を提示すること。

提案手法

• 軌道に沿って非増加である微分 W(x) ≤ 0 を持つ C¹ リャプノフ関数 V を導入する。
• 零点集合 E = {x ∈ D | W(x) = 0} を定義し、f(t,x) が E 上で時不変であると仮定する。
• E の最大正不変集合 N ⊂ E にダイナミクスを制限し、その安定性を分析する。
• 定理1を適用：N 上での制限ダイナミクスが漸近安定であるならば、全系は一様漸近安定である。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式 ∇V·f + ∇V·g(φ(h) + p(h,t)) ≤ 0 を用いてロバスト安定化可能性条件を導出する。
• 摂動の2つのクラス P₁（時不変）および P₂（時変）を定義し、両方のケースで W(x) ≤ 0 が成り立つことを示し、これにより定理1による安定性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時変ベクトル場を有する非-autonomous系に、古典的ラスール不変性原理をどの条件下で拡張できるか。
• RQ2 リャプノフ微分の零点集合でのみベクトル場が時不変である場合、全系の安定性はどのように特定できるか。
• RQ3 リャプノフに基づくアプローチを用いて、線形系の検出可能性結果を非線形系に一般化できるか。
• RQ4 セクターバウンド摂動を受けるアフィン非線形制御系のロバスト安定化可能性を保証する条件は何か。
• RQ5 強いゼロ状態検出可能性と、ハミルトニアン・ジャコビ不等式の非負定値解の存在との関係は何か。

主な発見

• 制限ダイナミクスが最大正不変集合 N ⊂ E 上で漸近安定であるならば、全系は一様漸近安定である。
• 線形検出可能性結果の非線形拡張が確立された：(h,f) が強いゼロ状態検出可能であり、AᵀP + PA + CᵀC = 0 が P ≥ 0 を満たす解をもつならば、A はハーヴィッツである。
• 平面系 ẋ₁ = -x₁³ + u, ẋ₂ = -x₂³, y = x₂³ に対して、フィードバック φ(y) = y は任意の a > 0 に対して系をロバストに安定化する。このとき V(x₁,x₂) = (a²/4)x₂⁴ は有効なリャプノフ関数である。
• P₁ ∪ P₂ に属する摂動に対してロバスト安定化条件が成り立ち、V の時間微分が W(x) ≤ 0 で抑えられる。ここで W(x) = -(2aε - ε²)(φ(h(x)))²（P₂の場合）および W(x) = (p(h(x)))² - a²(φ(h(x)))²（P₁の場合）である。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式の非負定値解の存在は、時不変および時変摂動の両方に対してロバスト安定化可能性を保証する。
• この結果は、|φ(y)| ≤ a|y| を満たすフィードバックが、任意に大きな a > 0 に対しても系をロバストに安定化できることを示唆している。例3でこれを実証した。