[論文レビュー] An extension of Massey scheme for secret sharing

Romar dela Cruz, Annika Meyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2010

Cryptography and Data Security参考文献 14被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、線形符号を用いてマッセイの秘密分散方式を拡張し、複数の秘密（l > 1）を共有する一般化された構成を導入する。アクセス構造は双対符号およびg重合同重み列挙子を用いて特徴づけられる。主な貢献は、特定のサポートおよび重み条件を満たす双対符号内の符号語を用いた最小アクセスグループの特徴づけであり、これにより自己双対符号に対して不変理論およびモリエン級数を用いたアクセス構造の解析が可能になる。

ABSTRACT

We consider an extension of Massey's construction of secret sharing schemes using linear codes. We describe the access structure of the scheme and show its connection to the dual code. We use the $g$-fold weight enumerator and invariant theory to study the access structure.

研究の動機と目的

• マッセイのオリジナルの秘密分散方式（1つの秘密に限る）を、複数の秘密（l > 1）を扱える一般化された方式に拡張すること。
• 双対符号および一般化されたハミング重みの性質を用いて、拡張された方式のアクセス構造を特徴づけること。
• 不変理論およびg重合同重み列挙子を用いて、特に自己双対符号に対してアクセス構造を解析すること。
• 最小アクセスグループのサイズの上限を導出し、代数的不変量を用いて与えられたサイズのアクセスグループの数を計算すること。
• 従来の完全な方式から非完全な方式への拡張により、共有サイズを小さくし、情報レートの効率性を向上させること。

提案手法

• F_q 上の [l+n, k, d] 線形符号を用い、生成行列 G を l 個の秘密列と n 個の共有列に分割する。
• 秘密ベクトル s ∈ F_q^l は、uG_i = s_i (1 ≤ i ≤ l) を満たすベクトル u を選んで符号化され、共有は c_{l+i} = uG_{l+i} として割り当てられる。
• アクセス構造は、参加者がグループ B に属する場合、最初の l 列の張る空間が B に属する共有の張る空間に含まれる場合に限り、秘密を復元可能であるという条件によって決定される。
• 本稿では、符号語 v_j ∈ C⊥ が満たす一般化された条件を導入する：(i) v_j の最初の l 座標が標準基底ベクトル e_j に等しく、(ii) v_j のサポートが {j} ∪ B に含まれる。
• 自己双対符号の場合、不変理論が、二進符号に対して群 G1（タイプ I）および G2（タイプ II）の作用を受ける 4 重合同重み列挙子 J_{1_{T1},1_{T2},C,C}(x_a) を用いて適用される。
• 空間 V1 における総次数 r の不変量のためのモリエン級数 F_G(r) が計算され、V2 および V3 における次数 1 に対応する。これにより、母関数を用いたアクセスグループの列挙が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッセイの秘密分散方式を、構造的性質を保ちつつ、複数の秘密（l > 1）を扱えるように一般化する方法は何か？
• RQ2 双対符号および符号語のサポート条件を用いて、拡張された方式における最小アクセスグループの正確な特徴づけは何か？
• RQ3 一般化されたハミング重み d_l^⊥ および最小双対距離 d^⊥ は、アクセスグループのサイズに対する下界にどのように関係するか？
• RQ4 不変理論および合同重み列挙子を用いて、自己双対符号のアクセスグループを列挙し、アクセス構造を記述できるか？
• RQ5 拡張された方式の情報レートおよび共有サイズの効率性は、完全な方式と比べてどうか？

主な発見

• 任意のグループ B に対して、参加者が秘密を復元可能であるための必要十分条件は、符号語 v_j ∈ C⊥ が存在し、v_j の最初の l 座標が e_j に等しく、supp(v_j) ⊆ {j} ∪ B であることである。
• 最小アクセスグループのサイズは、3/2(d^⊥ - l) 以上である。ここで d^⊥ は双対符号の最小重みであり、計算可能な下界を提供する。
• d^⊥ = 8 および l = 2 である特定の符号に対して、サイズ 12 のアクセスグループの数は正確に 36,960 である。これは合同重み列挙子と補題 6 を用いて計算された。
• 自己双対符号の 4 重合同重み列挙子は、G1（タイプ I）または G2（タイプ II）の作用に対して不変であり、これによりモリエン級数を用いた列挙が可能になる。
• V1 における次数 r の不変量および V2 および V3 における次数 1 の不変量の母関数 F_G(r) は、MAGMA を用いてタイプ I およびタイプ II の両方の符号に対して明示的に計算された。
• l ≥ 2 の場合、本方式は非完全であり、秘密よりも小さな共有サイズを許容する。これにより情報レートが l に達し、完全な方式よりも効率的である。