[論文レビュー] An Extension of Parikh's Theorem beyond Idempotence

Michael Luttenberger, Schlund, Maximilian|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Analytical Chemistry and Chromatography参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、パーシュの定理をべき等半環を超えて拡張する。文脈自由文法の可換なあいまいさ関数（各パーシュベクトルごとの左最左導出数を数えるもの）が、一般化されたべき等性恒等式 $k = k+1$ に関して有理的であることを示し、$\omega$-連続半環上のニュートン法を用いて、この関数が有限重み付き和として線形集合に表現できることを証明する。これは、$k=1$ の場合のパーシュの元々の結果を高次の $k$ へ一般化する。

ABSTRACT

The commutative ambiguity of a context-free grammar G assigns to each Parikh vector v the number of distinct leftmost derivations yielding a word with Parikh vector v. Based on the results on the generalization of Newton's method to omega-continuous semirings, we show how to approximate the commutative ambiguity by means of rational formal power series, and give a lower bound on the convergence speed of these approximations. From the latter result we deduce that the commutative ambiguity itself is rational modulo the generalized idempotence identity k=k+1 (for k some positive integer), and, subsequently, that it can be represented as a weighted sum of linear sets. This extends Parikh's well-known result that the commutative image of context-free languages is semilinear (k=1). Based on the well-known relationship between context-free grammars and algebraic systems over semirings, our results extend the work by Green et al. on the computation of the provenance of Datalog queries over commutative omega-continuous semirings.

研究の動機と目的

• 文脈自由文法について、べき等性のケース（$k=1$）から高次のべき等性恒等式（$k=k+1$）へパーシュの定理を一般化すること。
• 左最左導出数を各パーシュベクトルごとに数える可換あいまいさ関数 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ が、$k=k+1$ に関して有理的であることを確立すること。
• 一般化された半環上の有理形式的べき級数を用いて、$\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ を近似する構成的技法を提供すること。
• Datalogのプロビジョニング計算や半環上代数的システムの結果を、ニュートン反復を用いてべき等でない設定へ拡張すること。

提案手法

• 文脈自由文法から導かれる代数的システムの最小解を近似するために、$\omega$-連続半環上の一般化されたニュートン法を活用する。
• 恒等式 $k = k+1$ が成り立つ半環 $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$ を導入し、あいまいさの数の有限表現を可能にする。
• 半環 $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$ におけるスターオペレータに関する新しい恒等式（I1–I5）を導出する。これらは古典的な正規表現の恒等式を一般化する。
• 恒等式（I3）–（I5）を用いてスターオペレータの高さを1にまで低下させ、有理的表現を重み付き線形集合の和に変換する。
• 恒等式 $kx = k\cdot\operatorname{\mathsf{supp}}(x)$ を適用し、繰り返し項を正規表現のサポートに統合する。
• 集合 $\{{\boldsymbol{v}} \mid \operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}({\boldsymbol{v}}) = k\}$ に対するプレスブルガ算術の論理式を構成し、論理的特徴付けを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーシュの定理（文脈自由言語の半線形性）は、べき等性のケース（$k=1$）を超えて、高次のべき等性恒等式へ拡張可能か？
• RQ2 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、可換あいまいさ関数 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ は恒等式 $k = k+1$ に関して有理的か？
• RQ3 $\omega$-連続半環上の代数的システムの最小解は、べき等でない設定でも有効に近似可能か？
• RQ4 一般化された半環 $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$ におけるスターオペレータの恒等式は何か？
• RQ5 $\{{\boldsymbol{v}} \mid \operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}({\boldsymbol{v}}) = k\}$ の集合はプレスブルガ算術で表現可能か？

主な発見

• 可換あいまいさ関数 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ は、恒等式 $k = k+1$ に関して有理的であり、$k=1$ の場合のパーシュの元々の結果を拡張する。
• ニュートン反復による $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ 近似の収束速度に対する下界が確立され、有効な近似が保証される。
• $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$ 内の任意の有理的級数は、有限重み付き線形集合の和として表現可能であり、半線形構造を一般化する。
• 恒等式（I1）–（I5）により、任意の有理的表現をスターオペレータ高さが1以下の形に変換可能であり、有限表現が可能になる。
• $\{{\boldsymbol{v}} \mid \operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}({\boldsymbol{v}}) = k\}$ の集合は、補題5.4によって示されるようにプレスブルガ算術で定義可能である。
• 構成により、非べき等設定下でも、あいまいさの数を重み付き線形集合の和として具体的に表現するアルゴリズム的手法が得られる。