[論文レビュー] An Extension of Proof Graphs for Disjunctive Parameterised Boolean Equation Systems

Yutaro Nagae, Masahiko Sakai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 11被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、データを含まないおよび分岐的なパラメータ付きブール方程式系（PBES）における決定不能な属性問題を解消するための有限表現技法として、縮約された証明グラフを導入する。集合としての頂点を単一のノードに抽象化することで、無限の証明グラフを有限の縮約された依存関係空間に変換し、属性問題に対して整合的かつ完全な意思決定手順を可能にする。主な貢献は、有限の縮約された依存関係空間を構築する手順であり、このPBESの部分クラスに対して正しくかつ完全に動作することを保証する。

ABSTRACT

A parameterised Boolean equation system (PBES) is a set of equations that defines sets as the least and/or greatest fixed-points that satisfy the equations. This system is regarded as a declarative program defining functions that take a datum and returns a Boolean value. The membership problem of PBESs is a problem to decide whether a given element is in the defined set or not, which corresponds to an execution of the program. This paper introduces reduced proof graphs, and studies a technique to solve the membership problem of PBESs, which is undecidable in general, by transforming it into a reduced proof graph. A vertex X(v) in a proof graph represents that the data v is in the set X, if the graph satisfies conditions induced from a given PBES. Proof graphs are, however, infinite in general. Thus we introduce vertices each of which stands for a set of vertices of the original ones, which possibly results in a finite graph. For a subclass of disjunctive PBESs, we clarify some conditions which reduced proof graphs should satisfy. We also show some examples having no finite proof graph except for reduced one. We further propose a reduced dependency space, which contains reduced proof graphs as sub-graphs if a proof graph exists. We provide a procedure to construct finite reduced dependency spaces, and show the soundness and completeness of the procedure.

研究の動機と目的

• 一般のPBESにおける属性問題の決定不能性に対処するため、決定可能な部分クラスに焦点を当てる。
• 通常は構造的に無限である証明グラフのための有限表現技法を開発する。
• 縮約された証明グラフがデータを含まないおよび分岐的なPBESの解を正しく表現するための条件を定義する。
• 証明グラフが存在する場合に、それらを部分グラフとして含む縮約された依存関係空間を定義する。
• データを含まないおよび分岐的なPBESのための有限の縮約された依存関係空間を構築する整合的かつ完全な手順を提供する。

提案手法

• 頂点が元の頂点の集合を表す縮約された証明グラフを導入し、有限表現を可能にする。
• データを含まないおよび分岐的なPBESの文脈で、縮約された証明グラフが満たすべき条件を定義する。
• 証明グラフを一般化し、それらが存在する場合に部分グラフとして含む縮約された依存関係空間を提案する。
• 論理的条件に基づく状態空間の分割を通じて、有限の縮約された依存関係空間を構築する手順を設計する。
• 元のシステムに解が存在する場合に限り、その解が縮約空間に存在することを示すことで、構築手順の整合性と完全性を保証する。
• 不等式やブール条件に基づく論理的分割を用いて、データ値をグループ化し、状態空間を抽象化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PBESの無限の証明グラフは、属性問題において正しさを保つ有限表現に置き換え可能か？
• RQ2 データを含まないおよび分岐的なPBESに対して、縮約された証明グラフが正しく解を表現するためにはどのような条件を満たすべきか？
• RQ3 すべての可能な縮約された証明グラフを含み、有限計算を可能にする縮約された依存関係空間は存在するか？
• RQ4 このPBESの部分クラスに対して、有限の縮約された依存関係空間を構築する整合的かつ完全な手順は存在するか？
• RQ5 有限の証明グラフを持たない例ですら、有限の縮約された証明グラフを持つことは可能か？

主な発見

• データを含まないおよび分岐的なPBESに対して証明グラフが存在することは、縮約された証明グラフが存在することと同値である。
• 有限の証明グラフを持たないが、有限の縮約された証明グラフを持つPBESの例が存在し、抽象化の必要性と利点を示している。
• 提案された手順により、属性問題に対して整合的かつ完全な有限の縮約された依存関係空間が構築可能である。
• 縮約された依存関係空間は、例えば x ≥1∧y ≥1 または x ≥2∧y ≥2 といった条件を用いた論理的分割によって構築される。
• トラックイング問題の例では、この方法により有限の分割 ⟨{C1,C2},{A1,A2,A3},{B1}⟩ と対応する有限の縮約された依存関係空間が得られる。
• 図2の縮約された証明グラフは、成功したトラックスケジュールを持つ初期状態を正しく特徴づけており、無限の元のグラフであっても意図した振る舞いを正しく捉えていることを示している。