[論文レビュー] An extension of Tamari lattices

Louis-François Préville-Ratelle, Xavier Gérard Viennot|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、任意のラティスパス v に対して定義される一般化されたタマリ格子 Tam(v) を導入する。Tam(v) は、同じ北・東ステップ数を持ち、v 以上に弱く上方にあるすべてのパスの順序集合（poset）として定義される。固定された被覆（canopy）を持つ二分木との双対性を用いて、Tam(v) が格子であることを証明し、Tam(v) とその双対格子 Tam(←v) の間に双対性が成り立つことを示す。ここで ←v は v を反転させ、東ステップと北ステップを入れ替えたものである。この結果は、古典的タマリ格子および m-タマリ格子を一般化し、長さ n−1 のパスによってインデックスづけられる区間へ分解される古典的タマリ格子を構成する。

ABSTRACT

18 pages

研究の動機と目的

• 任意のラティスパス v を用いた、古典的タマリ格子および m-タマリ格子のより広いクラスの順序集合への拡張を目的とする。
• 同じ北・東ステップ数を持ち、v 以上に弱く上方にあるすべてのパスの集合として定義される新しい順序集合 Tam(v) を定義すること。
• 任意のパス v に対して Tam(v) が格子であることを証明し、既知のタマリ格子および m-タマリ格子に関する結果を一般化すること。
• Tam(v) と Tam(←v) の双対性を確立すること。ここで ←v は v を反転させ、東ステップと北ステップを入れ替えたものである。
• 対称群の一般化された対角双対不変空間との間に生じる関係を調査すること。

提案手法

• 与えられたパス v 以上に弱く上方にあるパスの順序集合 Tam(v) を定義する。同じ北・東ステップ数を持つ。
• 水平距離に基づく被覆関係を導入する。パス u ≥ v 上の点 p について、p の直前が東ステップで、直後が北ステップであり、区間 [p,p'] において horizv(p) が一定であるとき、東ステップ E と部分パス D[p,p'] を局所的に交換して u′ を得る。この操作により u <v u′ と定義し、被覆関係を定義する。
• パスの後行順巡回（postorder traversal）を用いて、Tam(v) に属するパスと固定された被覆 v を持つ完全二分木との間の双対的対応を確立する。
• この木に基づくモデルを用いて、Tam(v) が格子であることを証明し、被覆の双対構造を用いて Tam(←v) との双対性を導出する。
• 既知のタマリ格子および m-タマリ格子における区間数の結果を活用し、高さ n の古典的タマリ格子が、長さ n−1 のすべてのパス v に対してインデックスづけられた Tam(v) の区間へ分割されることを示す。
• 有理カタラン組合せ論および一般化された対角双対不変空間 DRm_k,n との潜在的関係を調査する。特に、任意のパス上に存在するパスに対する dinv および area 統計の拡張を通じて。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タマリ格子は、Dyck パスや m-ボールォットパスを超えて、北・東ステップからなる任意のラティスパス v に対して一般化可能か？
• RQ2 同じ北・東ステップ数を持ち、v 以上に弱く上方にあるパスの集合として定義される順序集合 Tam(v) は、任意のパス v に対して常に格子か？
• RQ3 Tam(v) と Tam(←v) の間に双対性が存在するか？ここで ←v は v を反転させ、東ステップと北ステップを入れ替えたものである。
• RQ4 高さ n の古典的タマリ格子（Dyck パスに基づく）は、長さ n−1 のパス v に対してインデックスづけられた Tam(v) の区間へどのように分解されるか？
• RQ5 Tam(v) の組合せ論は、k > 2 の場合にまだ構成されていない一般化された対角双対不変空間 DRm_k,n のための枠組みを提供できるか？

主な発見

• 任意の有限パス v について、正方形格子上の北・東ステップからなるパス v に対して Tam(v) は格子である。
• 順序集合 Tam(v) は、東ステップと北ステップを入れ替えた反転パス ←v を用いて定義される Tam(←v) の双対格子と同型である。
• 高さ n の古典的タマリ格子は、長さ n−1 のすべてのパス v に対してインデックスづけられた Tam(v) の区間へ分割される。
• Tam((N mE)n) に含まれる区間の数は、m-タマリ格子 Tam((NEm)n) に含まれる区間の数に等しくなる。これは、上記の双対性によって保証される。
• 順序集合 Tam(v) は、固定された被覆 v を持つ完全二分木の集合と組合せ的に同値であり、この同値性により格子性および双対性の性質が導出可能である。
• Tam(v) の枠組みは、k > 2 の場合にまだ構成されていない一般化された対角双対不変空間 DRm_k,n のための組合せ的モデルを提供する可能性を有する。特に、任意のパスへの拡張された dinv および area 統計を通じて。