[論文レビュー] An extension of the Burau representation to a mapping class group associated to Thompson's group T

Christophe Kapoudjian, Vlad Sergiescu|ArXiv.org|Feb 25, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、トーマスの群 $T$ に関連する写像類群 $A_T$ を通じて、無限交差群のバウル表現を拡張する。非可換拡張 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$ を用いて実現される。この拡張のアーベル化は、離散的グッドビルン＝ヴィラソロ類 $\overline{gv}$ を検出する中心拡張をもたらし、これはプレスリー＝セガル類の引き戻しとして実現される。

ABSTRACT

We study some aspects of the geometric representation theory of the Thompson and Neretin groups, suggested by their analogies with the diffeomorphism groups of the circle. We prove that the Burau representation of the Artin braid groups extends to a mapping class group $A_T$ related to Thompson's group $T$ by a short exact sequence $B_{\infty}\hookrightarrow A_T o T$, where $B_{\infty}$ is the infinite braid group. This {\it non-commutative} extension abelianises to a central extension $0 o \Z o A_T/[B_{\infty},B_{\infty}] o T o 1$ detecting the {\it discrete} version $\bar{gv}$ of the Bott-Virasoro-Godbillon-Vey class. A morphism from the above non-commutative extension to a reduced Pressley-Segal extension is then constructed, and the class $\bar{gv}$ is realised as a pull-back of the reduced Pressley-Segal class. A similar program is carried out for an extension of the Neretin group related to the {\it combinatorial} version of the Bott-Virasoro-Godbillon-Vey class.

研究の動機と目的

• 無限交差群 $B_\infty$ を用いたトーマスの群 $T$ の非可換拡張を構成し、バウル表現を一般化すること。
• この拡張のアーベル化が、離散的グッドビルン＝ヴィラソロ類 $\overline{gv}$ を検出する中心拡張をもたらすこと。
• 非可換拡張から減少版プレスリー＝セガル拡張への準同型を確立し、$\overline{gv}$ がプレスリー＝セガル類の引き戻しとして実現されることを示すこと。
• ネレチン群 $N$ に対しても同様のプログラムを拡張し、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-値クラス $\overline{GV}$ を検出する非可換拡張を構成すること。

提案手法

• 無限交差群 $B_\infty$ を用いて、写像類群 $A_T$ を拡張 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$ として定義する。
• 自由群 $F_\infty$ の自己同型群のインダクティブな部分群 $\mathrm{Aut}(F_\infty)^{\mathrm{ind}}$ のマグナス表現を介して、バウル表現を拡張する表現 $\rho^\mathbf{t}_\infty: A_T \to \mathrm{GL}(\ell^2(F_\infty))$ を構成する。
• 行列成分が $t$-単項式係数を持つ対角作用素の有限ランク摂動であることを示すことにより、表現の連続性を証明する。
• 穴とループへの $A_T$ の作用を用いて、自由群 $F_\infty$ 上の共役自己同型を定義し、$a \mapsto \mathcal{M}(a_*)$ を介して表現を誘導する。
• $A_T$ から減少版プレスリー＝セガル拡張への準同型を確立し、クラス $\overline{gv}$ がプレスリー＝セガルクラスの引き戻しとして生じることを示す。
• ネレチン群 $N$ に対しても同様の構成を適用し、核が $\mathfrak{S}_\infty$ である非可換拡張を構成し、そのアーベル化が $\overline{GV}$ を検出することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレイド群のバウル表現は、トーマスの群 $T$ に関連する写像類群に拡張可能か？
• RQ2 非可換拡張 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$ のアーベル化は、離散的グッドビルン＝ヴィラソロ類 $\overline{gv}$ を検出するか？
• RQ3 $\overline{gv}$ は、$A_T$ から減少版プレスリー＝セガル拡張への準同型を介して、プレスリー＝セガルクラスの引き戻しとして実現可能か？
• RQ4 ネレチン群 $N$ に対しても、同様の非可換拡張を構成でき、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-値クラス $\overline{GV}$ を検出可能か？
• RQ5 拡張 $A_T$ の核 $B_\infty$ の幾何学的および代数的構造は何か？

主な発見

• バウル表現は、$\mathrm{Aut}(F_\infty)^{\mathrm{ind}}$ のマグナス表現を介して、連続的表現 $\rho^\mathbf{t}_\infty: A_T \to \mathrm{GL}(\ell^2(F_\infty))$ に拡張される。
• 拡張 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$ のアーベル化は、中心拡張 $0 \to \mathbb{Z} \to A_T/[B_\infty, B_\infty] \to T \to 1$ をもたらし、これは離散的グッドビルン＝ヴィラソロ類 $\overline{gv}$ を検出する。
• $A_T$ から減少版プレスリー＝セガル拡張への準同型が構成され、$\overline{gv}$ がプレスリー＝セガルクラスの引き戻しとして実現される。
• $\rho^\mathbf{t}_\infty(a)$ は連続的である。なぜなら、その行列成分が $t$-単項式係数を持つ対角作用素の有限ランク摂動であるからである。
• 各 $a \in A_T$ に対して、自由群 $F_\infty$ 上の作用は、$a_*(\gamma_q) = \lambda_i \gamma_{a(q)} \lambda_i^{-1}$ を満たす自己同型を誘導する。ここで $C_i$ 上の穴に対して $\lambda_i \in F_\infty$ である。
• ネレチン群 $N$ に対しても同様の結果が得られ、核が $\mathfrak{S}_\infty$ である非可換拡張が構成され、そのアーベル化は $\overline{GV}$ を検出する。