[論文レビュー] An extension of the characterization of the domain of attraction of an asymptotically stable fixed point in the case of a nonlinear discrete dynamical system

Éva Kaslik, A.M. Balint+2 more|ArXiv.org|Mar 2, 2004

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形離散力学系における漸近安定固定点の吸引域（DA）の特徴付けを拡張し、原点における線形化系のヤコビアンの固有値半径が1未満であるとき、DAが一意なリャプノフ関数Vの自然な解析接続領域と一致することを証明している。この関数Vは、系の反復の二乗和として構成され、関数方程式を満たすため、線形化ノルムが1未満でない場合でも、DAの正確な推定が可能になる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show that if the spectral radius of the matrix of the linearized system of a nonlinear discrete dynamical system is less then one then the characterization theorem from \cite{KBBB1,KBGB2} holds.

研究の動機と目的

• 線形化ノルムが1未満である場合を越えて、吸引域（DA）の特徴付けを、より一般的な状況に拡張すること。
• 固定点におけるヤコビアンの固有値半径が1未満であるとき、DAが特定のリャプノフ関数の自然な解析接続領域と一致することを確立すること。
• 線形部分のみでなく、完全な非線形系に基づいてリャプノフ関数Vを構成し、Vが正であり、DAの境界で発散することを保証すること。
• 系のダイナミクスを含む一階関数方程式の解として、このリャプノフ関数Vの一意性を証明すること。
• この関数方程式に基づく数値的手法を用いたDAの近似の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 吸引域内のすべてのxに対して収束する無限級数 ∑_{k=0}^∞ ||f^k(x)||² として、リャプノフ関数V(x)を定義する。
• r(∂₀f) < 1 の条件下で、グロンウォール型不等式と固有値半径の推定を用いて級数の収束を証明する。
• V(0) = 0 を満たし、V(f(x)) - V(x) = -||x||² を満たす関数方程式を確立する。
• VがDA上で解析的であり、xがDAの境界に近づくにつれて無限大に発散することを示す。
• 関数方程式の解の唯一性を用いて、VがDA上で方程式を満たす唯一の関数であることを証明する。
• Vの反復による不変性を活用し、xがDAの境界に近づくにつれてV(x) → ∞ となることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近安定固定点の吸引域が、系の反復から構成されるリャプノフ関数の自然な解析接続領域と一致する条件は何か？
• RQ2 線形化ノルムが1未満である場合に限らず、固有値半径が1未満であるというより一般的な状況に、吸引域の特徴付けを拡張できるか？
• RQ3 V(f(x)) - V(x) = -||x||² かつ V(0) = 0 を満たす一意なリャプノフ関数Vが、吸引域全体で定義可能か？
• RQ4 リャプノフ関数Vの吸引域境界付近での振る舞いは、系のダイナミクスとどのように関係するか？
• RQ5 この関数方程式に基づく手法を用いて、非線形離散系における吸引域を数値的に推定できるか？

主な発見

• 原点の吸引域DA(0)は開集合であり、関数方程式 V(f(x)) - V(x) = -||x||² の一意解Vの自然な解析接続領域と一致する。
• リャプノフ関数 V(x) = ∑_{k=0}^∞ ||f^k(x)||² は、DA(0)上で正しく定義され、正であり、解析的であり、関数方程式を正確に満たす。
• DA(0)の境界上の任意のx₀に対して、x → x₀ となるにつれて V(x) → ∞ となる。これは吸引域の境界を特徴付ける。
• r(∂₀f) < 1 の条件下で、グロンウォール型推定により、すべてのx ∈ DA(0)に対して級数 ∑||f^k(x)||² の収束が保証される。
• 関数方程式の解としてのVは、DA(0)上で一意である。他の任意の解を引いた場合、恒等的にゼロでなければならない。
• 数値例により、||∂₀f|| = 1 だが r(∂₀f) < 1 である場合、たとえば固有値半径が0であるような場合でも、本手法が適用可能であることが確認されている。