[論文レビュー] An extension of the Frobenius coin-exchange problem

Matthias Beck, Sinai Robins|ArXiv.org|Apr 2, 2002

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2つの互いに素な整数 $a$ と $b$ の非負整数線形結合としてちょうど $k$ 種類の方法で表せる整数（$k$-表現可能整数）を導入することで、古典的なフロベニウス硬貨問題を拡張する。ポポビチュの公式と再帰的分割関数解析を用い、以降すべての整数が $k$-表現可能となる最小の整数の正確な公式を導出し、$g_k(a,b) = (k+1)ab - a - b$ を証明するとともに、特定の範囲内での $k$-表現可能整数の正確な個数を確立する。

ABSTRACT

Given positive integers $a_1,...,a_n$ with $\gcd(a_1,...,a_n) = 1$, we call an integer t representable if there exist nonnegative integers $m_1,...,m_n$ such that $t = m_1 a_1 + ... + m_n a_n$. In this paper, we discuss the linear diophantine problem of Frobenius: namely, find the largest integer which is not representable. We call this largest integer the Frobenius number $g(a_1,...,a_n)$. We extend this problem to asking for the smallest integer $g_k(a_1,...,a_d)$ beyond which every integer is represented more than k times. We concentrate on the case d=2 and prove statements about $g_k(a,b)$ similar in spirit to classical results known about g(a,b).

研究の動機と目的

• 古典的なフロベニウス数 $g(a,b)$ を、すべての整数が $k$ 種類以上の方法で表現可能となる最小の整数 $g_k(a,b)$ に一般化すること。
• $d=2$ かつ $\gcd(a,b)=1$ の場合に、$g_k(a,b)$ と $k$-表現可能整数の個数の正確な公式を特定すること。
• 分割関数の性質と留数計算を用いて、これらの結果の解析的および初等的証明を提供すること。
• 区間 $[1, (a-1)(b-1)]$ 内の整数のちょうど半数が表現可能であるという古典的結果を、より高い $k$-表現可能性の個数に一般化すること。

提案手法

• モジュラー逆数 $a^{-1}$ および $b^{-1}$ を用いた、制限付き分割関数 $p_{\{a,b\}}(n) = \frac{n}{ab} - \left\{\frac{b^{-1}n}{a}\right\} - \left\{\frac{a^{-1}n}{b}\right\} + 1$ のポポビチュの公式を使用する。
• 生成関数 $\frac{1}{(1-z^a)(1-z^b)z^{n+1}}$ に対する留数定理を用いた複素解析的手法により、分割関数の恒等式を導出する。
• 分割関数 $p_{\{a,b\}}(n)$ を $\sum_{m \geq 0} p_{\{a\}}(n - mb)$ として再帰的に分解し、$p_{\{a\}}(n)$ が $a|n$ かつ $n \geq 0$ のとき 1、それ以外は 0 であることに着目する。
• 周期性 $p_{\{a,b\}}(n + ab) = p_{\{a,b\}}(n) + 1$ を用いて、$k$-表現可能整数の分布を区間内で分析する。
• $p_{\{a,b\}}(n)$ にすべての部品を少なくとも1回以上使う表現の個数を数える関数 $q_{\{a,b\}}(n)$ を導入し、$q_{\{a,b\}}(n) = p_{\{a,b\}}(n - a - b)$ を用いて $p_{\{a,b\}}(n)$ と関連付ける。
• 2通りの独立した証明を提供する：1つはポポビチュの公式を用いた解析的証明、もう1つは $p_{\{a,b\}}(n) = \sum_{m \geq 0} p_{\{a\}}(n - mb)$ を用いた再帰的表現数え上げに基づく初等的証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての整数が $a$ と $b$ の非負整数線形結合として $k$ 種類以上の方法で表現可能となるようになる最小の整数 $g_k(a,b)$ は何か？
• RQ2 $\gcd(a,b) = 1$ のとき、$k \geq 2$ に対してちょうど $k$-表現可能である整数はいくつあるか？
• RQ3 区間 $[1, (a-1)(b-1)]$ 内の整数のちょうど半数が表現可能であるという古典的結果を、$k$-表現可能整数に一般化できるか？
• RQ4 分割関数 $p_{\{a,b\}}(n)$ の周期的性質は、より高い $k$-表現可能性の個数に拡張可能か？
• RQ5 $d=2$ の場合に得られた結果を $d \geq 3$ に拡張できるか？

主な発見

• $k$-表現可能性のためのフロベニウス数は $g_k(a,b) = (k+1)ab - a - b$ で与えられ、$k=0$ のとき古典的な $g(a,b) = ab - a - b$ を一般化する。
• $k \geq 2$ のとき、最小の $k$-表現可能整数は $ab(k-1)$ であり、これは $g_{k-2}(a,b) + a + b$ よりも厳密に大きい。
• 一意に表現可能な整数（すなわち $k=1$）は正確に $ab - 1$ 個存在し、各 $k \geq 2$ に対して正確に $ab$ 個の $k$-表現可能整数が存在する。
• 区間 $[1, ab]$ 内の $k$-表現可能整数の個数は、$k=1$ のとき $\frac{(a-1)(b-1)}{2}$、$k \geq 2$ のとき $ab$ である。これは $p_{\{a,b\}}(n)$ の周期性に起因する。
• $k \geq 2$ のすべての $k$-表現可能整数を含む区間は $[g_{k-2}(a,b) + a + b, g_k(a,b)]$ であり、長さは $2ab - a - b + 1$ である。
• 結果はポポビチュの公式を用いた証明と、$p_{\{a,b\}}(n) = \sum_{m \geq 0} p_{\{a\}}(n - mb)$ を用いた再帰的数え上げに基づく初等的メソッドの両方で証明されており、両手法の整合性が確認されている。