[論文レビュー] An extension of the Hermite-Biehler theorem with application to polynomials with one positive root

Richard Ellard, Helena Šmigoc|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

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ひとこと要約

本稿では、Hermite-Biehler定理をHurwitz安定でない多項式へ拡張し、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解の個数に下界を設定することで、複素平面における $ f $ の根の分布と関連づける。特に、左半平面と右半平面に存在する根の数の不均衡に基づき、これらの実数解が交互に並ぶことを示す。さらに、この拡張を用いて、正の根がちょうど一つである多項式に対して逆の符号則を導出し、その偶数次および奇数次の係数列がそれぞれ最大で一つの符号変化を有することを証明する。

ABSTRACT

If a real polynomial $f(x)=p(x^2)+xq(x^2)$ is Hurwitz stable (every root if $f$ lies in the open left half-plane), then the Hermite-Biehler Theorem says that the polynomials $p(-x^2)$ and $q(-x^2)$ have interlacing real roots. We extend this result to general polynomials by giving a lower bound on the number of real roots of $p(-x^2)$ and $q(-x^2)$ and showing that these real roots interlace. This bound depends on the number of roots of $f$ which lie in the left half plane. Another classical result in the theory of polynomials is Descartes' Rule of Signs, which bounds the number of positive roots of a polynomial in terms of the number of sign changes in its coefficients. We use our extension of the Hermite-Biehler Theorem to give an inverse rule of signs for polynomials with one positive root.

研究の動機と目的

• Hurwitz安定でない多項式へHermite-Biehler定理を一般化し、$ f $ の複素平面における根の分布と $ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解の個数を関連づけること。
• 多項式 $ f $ が左半平面に $ n_- $ 個、右半平面に $ n_+ $ 個の根を有する場合、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解が互いに交互に並ぶことを示し、その下界が $ |n_- - n_+| $ に依存することを確立すること。
• 正の根がちょうど一つである実数多項式に対して逆の符号則を提供し、その偶数次および奇数次の係数列がそれぞれ最大で一つの符号変化を有することを示すこと。
• これらの結果を実数根の分離問題および非負逆固有値問題（NIEP）に応用し、特に正の根が一つである多項式の係数の符号パターンを特徴づけること。
• 連続する係数が消える条件を特定し、係数列における重要なパrameterの閾値を同定すること。

提案手法

• 実数多項式 $ f(x) = p(x^2) + xq(x^2) $ を偶数部と奇数部に分解し、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の根を分析すること。
• 引数原理およびローチェの定理を用い、$ f $ の左半平面および右半平面における根の個数と $ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解の個数を関連づけること。
• 符号の変化および根の位置の分析を用いて、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解の交互性を確立し、古典的なHermite-Biehler条件を一般化すること。
• 文献[4]の不等式（ニュートンの不等式に関連）を用い、特にすべての非正の根が非正の実部を持つという仮定の下で、係数の符号パターンを分析すること。
• $ f(x) = (x - r)g(x) $ かつ $ r > 0 $、$ j \geq 2 $ に対して $ \operatorname{Re}(x_j) \leq 0 $ であると仮定し、根の初等対称関数を用いて係数 $ a_k $ の再帰的関係を導出すること。
• 係数の不等式における等号条件を用い、$ a_k \leq 0 $ ならば $ a_{k+2} < 0 $ であることを証明し、係数列に最大で一つの符号変化が生じることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hermite-Biehler定理は、Hurwitz安定でない多項式へどのように拡張可能か。特に、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解の個数とその交互性について、$ f $ の根の分布とどのように関連づけるか。
• RQ2 多項式 $ f $ が開左半平面および開右半平面にそれぞれ何個の根を有するかと、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解の個数との間にどのような関係があるか。
• RQ3 正の根がちょうど一つである多項式に対して、逆の符号則を確立できるか。また、これにより係数の符号パターンにどのような制約が生じるか。
• RQ4 正の根が一つである多項式の連続する係数が消える条件は何か。これにより、係数列における符号変化にどのような影響が生じるか。
• RQ5 このような多項式の係数符号パターンは、非正の根が複素平面におけるどの位置にあるか、特に楔 $ S_{\sqrt{3}} $ とどのように関係するか。

主な発見

• 実数多項式 $ f(x) = p(x^2) + xq(x^2) $ が開左半平面に $ n_- $ 個、開右半平面に $ n_+ $ 個の根を有するとき、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ はそれぞれ $ |n_- - n_+| $ 個以上の実数解を有する。
• 多項式 $ f $ がHurwitz安定でない場合であっても、$ p(-x^2) $ および $ q(-x^2) $ の実数解は互いに交互に並ぶ。
• 正の根がちょうど一つであり、他のすべての根の実部が非正である実数多項式では、その偶数次および奇数次の係数列はそれぞれ最大で一つの符号変化を有する。
• $ f(x) = (x - r)g(x) $ で $ r > 0 $、$ j \geq 2 $ に対して $ \operatorname{Re}(x_j) \leq 0 $ であり、$ g $ が $ \prod (x^2 + \beta_j^2) $ の形でない場合、$ a_k \leq 0 $ ならば $ a_{k+2} < 0 $ である。これにより、各係数列に最大で一つの符号変化が生じることが保証される。
• $ \mathcal{T}_e $ および $ \mathcal{T}_o $ の係数列は、$ f $ が特殊な形（例えば、純虚数根を有する、または係数が消える）でない限り、それぞれ最大で一つの符号変化を有する。このような状況は、係数の不等式における等号条件によって特徴づけられる。
• $ \beta = \sqrt{2m+1} $ かつ $ r = 1 + 1/m $ のとき、多項式 $ f(x) = (x - r)((x+1)^2 + \beta^2)^m $ はちょうど一つの符号変化を有するが、$ r $ が閾値を超えて増加すると複数の符号変化が生じるようになる。これは係数挙動における臨界閾値を示している。