[論文レビュー] An extension of the Whittaker function

Gauhar Rahman, Kottakkaran Sooppy Nisar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、拡張された逐次超幾何関数 $\Phi_{p,v}$ を用いて、Whittaker 関数の拡張版を導入し、積分表現、変換公式、メリン変換、微分的恒等式を導出する。主な貢献は、$F_{p,v}$ を含む拡張された Whittaker 関数の一般化されたメリン変換であり、$p=0$ または $v=0$ のときには既知の結果に還元される。この拡張は、修正されたベータ関数および超幾何関数を用いて、パラメータ $p$ と $v$ を組み込むことで、古典的 Whittaker 関数を一般化する。

ABSTRACT

The Whittaker function and its diverse extensions have been actively investigated. Here we introduce an extension of the Whittaker function by using the known extended confluent hypergeometric function $Φ_{p,v}$ and investigate some of its formulas such as integral representations, a transformation formula, Mellin transform, and a differential formula. Some special cases of our results are also considered.

研究の動機と目的

• 古典的 Whittaker 関数を、拡張された逐次超幾何関数 $\Phi_{p,v}$ を用いて拡張すること。
• 拡張された Whittaker 関数のための積分表現、変換公式、メリン変換、微分的恒等式を導出すること。
• パラメータ $p$ と $v$ を導入することで、古典的 Whittaker 関数の既知の結果を一般化すること。
• パラメータ $p=0$ または $v=0$ のとき、古典的恒等式が特殊ケースとして回復されることを示すこと。

提案手法

• 拡張された Whittaker 関数は、拡張されたベータ関数 $B_{p,v}$ を用いた拡張された逐次超幾何関数 $\Phi_{p,v}$ を用いて定義される。
• 既知の逐次超幾何関数の積分形に、拡張された超幾何関数を代入することで、積分表現が導出される。
• 積分表現とガンマ関数および $\Phi_{p,v}$ の性質を組み合わせることで、メリン変換が計算される。
• 既知の $\Phi_{p,v}$ の微分規則を拡張された Whittaker 関数に適用することで、微分的公式が得られる。
• パラメータ $v=0$ または $p=0$ に設定することで特殊ケースを分析し、古典的 Whittaker 関数の恒等式が回復されることを示す。
• 理論的導出は、ポッヒャーマー記号、ガンマ関数、第二種変形ベッセル関数の性質に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張された逐次超幾何関数 $\Phi_{p,v}$ を用いて、Whittaker 関数をどのように拡張できるか？
• RQ2 拡張された Whittaker 関数に適用される積分表現、メリン変換、微分公式は何か？
• RQ3 パラメータ $p=0$ または $v=0$ のとき、拡張された結果がどのように古典的 Whittaker 関数の恒等式に還元されるか？
• RQ4 拡張された Whittaker 関数のメリン変換が収束する条件は何か？
• RQ5 古典的状況では得られない、拡張された枠組みから新たに得られる恒等式は何か？

主な発見

• 拡張された Whittaker 関数のメリン変換は、$\Gamma(\delta+\rho+\frac{1}{2})\mu^{\rho+\frac{1}{2}}(\alpha+\frac{\mu}{2})^{-\delta-\rho-\frac{1}{2}}F_{p,v}(\delta+\rho+\frac{1}{2}, \rho-\lambda+\frac{1}{2}; 2\rho+1; \frac{2\mu}{2\alpha+\mu})$ として導出される。
• 拡張された Whittaker 関数の微分公式は、$\frac{d^n}{dz^n}\{e^{z/2}z^{-\rho-1/2}M_{p,v,\lambda,\rho}(z)\} = \frac{(\rho-\lambda+\frac{1}{2})_n}{(2\rho+1)_n}e^{z/2}z^{-\rho-n/2-1/2}M_{p,v,\lambda-n/2,\rho+n/2}(z)$ である。
• $v=0$ のとき、メリン変換は $\frac{z^{-r}\Gamma(r)B(\rho+r-\lambda+\frac{1}{2}, \rho+r+\lambda+\frac{1}{2})}{B(\rho-\lambda+\frac{1}{2}, \rho+\lambda+\frac{1}{2})}M_{\lambda,\rho+r}(z)$ に簡略化される。
• $v=0$ かつ $p=0$ のとき、メリン変換は古典的超幾何関数形に還元される：$\Gamma(\delta+\rho+\frac{1}{2})\mu^{\rho+\frac{1}{2}}(\alpha+\frac{\mu}{2})^{-\delta-\rho-\frac{1}{2}}{}_2F_1(\delta+\rho+\frac{1}{2}, \rho-\lambda+\frac{1}{2}; 2\rho+1; \frac{2\mu}{2\alpha+\mu})$。
• パラメータ $p=0$ かつ $v=0$ のとき、拡張された Whittaker 関数は古典的 Whittaker 関数に還元され、既知の文献からの恒等式が回復される。
• 拡張された Whittaker 関数の積分表現には、修正ベッセル関数 $K_{v+1/2}(p/(t(1-t)))$ が含まれており、一般化されたベータ型積分と関連している。