[論文レビュー] An Extension of Uniqueness Theorems for Meromorphic Mappings

Gerd Dethloff, Van Tan Tran|arXiv (Cornell University)|May 28, 2004

Meromorphic and Entire Functions参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、複素射影空間上のメラモーフィック写像の一意性定理を拡張し、一意性に必要な超平面の数を削減するとともに、重複度の打ち切り条件を改善している。特定の重複度打ち切りの上限と超平面数の条件下で、与えられた写像と逆像を共有する写像の集合には最大で2つの元しか含まれないことを証明しており、1998年に藤本が提起した未解決問題を解決している。

ABSTRACT

In this paper, we give some results on the number of meromorphic mappings of C^m into P^n under a condition on the inverse images of hyperplanes in P^n. At the same time, we give an answer for an open question by H.Fujimoto.

研究の動機と目的

• 1998年に藤本が提起した、メラモーフィック写像の一意性定理に必要な最小超平面数に関する未解決問題を解決すること。
• 複素数 m 次元から複素射影 n 次元空間へのメラモーフィック写像について、既存の一意性定理を拡張し、超平面数を 3n+1 からより小さい値に削減すること。
• 一意性定理における重複度の打ち切り条件を改善し、より柔軟で一般性の高い結果を得ること。
• 写像 f₁×f₂: ℂ^m → ℂP^n×ℂP^n が線形的に退化する条件を確立し、共有写像に構造的制約を与えること。
• 特に、共有超平面逆像をもつ写像について、代数的退化性と打ち切り数え上げ関数の下での一般化結果を拡張すること。

提案手法

• 交差重複度をレベル k で打ち切る refined 計数関数 v_{(f,H)}^{k)} を導入し、重複度の増大を制御可能にする。
• 複素数複数変数における Nevanlinna 理論の第一および第二主要定理を適用し、計数関数と特徴関数を推定する。
• Segre 埋め込み Ψ: ℂP^n×ℂP^n → ℂP^{n²+2n} を用いて、積写像の線形的退化性を定義し、共有写像に代数的制約を与える。
• 特徴関数 T_f(r) および計数関数 N_f^{k)}(r,H_j) の成長推定に基づく背理法を用い、不等式 (q−n−2)T_f(r) ≤ ... を用いて q を有界化する。
• 定理 2.2 を適用し、交比類似関数 (f_s,H_j)/(f_s,H_i) の比例性を導出し、与えられた有界条件下で α_ij = 1 が成り立つことを示す。
• 密度論的議論と正則関数論を用い、稠密部分集合上で成り立つ恒等式を ℂ^m 全体に拡張し、比の全域的等価性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 藤本の一意性定理における超平面数 q = 3n+1 を、メラモーフィック写像の一意性を保ったまま削減できるか？
• RQ2 重複度をレベル k で打ち切った場合、同じ逆像を共有する写像が最大で2つであるために必要な最小超平面数 q は何か？
• RQ3 写像 f₁ と f₂ が重複度をレベル k で打ち切った状態で同じ逆像を共有するとき、積写像 f₁×f₂: ℂ^m → ℂP^n×ℂP^n が線形的に退化する条件は何か？
• RQ4 高次元におけるメラモーフィック写像の一意性定理において、打ち切りレベル k を削減または最適化できるか？
• RQ5 重複度打ち切りを p=1 または p=2 に設定した場合、p=∞ と比較してより少ない超平面数で一意性結果を達成できるか？

主な発見

• 1 ≤ n ≤ 3 のとき、q = 3n+1、p = 2、23n ≤ k ≤ ∞ ならば、集合 F_k({H_j}, f, p) には最大で2つの異なる写像が含まれる。
• 4 ≤ n ≤ 6 のとき、q = 3n、p = 2、(6n−1)n/(n−3) ≤ k ≤ ∞ ならば、集合 F_k({H_j}, f, p) には最大で2つの異なる写像が含まれる。
• n ≥ 7 のとき、q = 3n−1、p = 1、(6n−4)n/(n−6) ≤ k ≤ ∞ ならば、集合 F_k({H_j}, f, p) には最大で2つの異なる写像が含まれる。
• q = [5(n+1)/2] かつ k ≥ (65n+171)n ならば、F_k({H_j}, f, 1) には最大で2つの写像が含まれる、またはすべての f₁,f₂ ∈ F_k({H_j}, f, 1) に対して積写像 f₁×f₂ は線形的に退化する。
• 証明により、すべての i ≠ j に対して α_ij = 1 が成り立つことが示され、超平面関数の共有比が同一であることを意味し、f₁ ≡ f₂ または線形的退化性が生じる。
• 背理法により、2つより多くの写像が存在すると仮定すると、成長有界性 T_f(r) ≤ (n + nq/k)T_f(r) が破れることを示し、これは与えられた k ≥ (65n+171)n および q = [5(n+1)/2] の下で成立しない。