[論文レビュー] An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities

Marek Jarnicki, Peter Pflug|ArXiv.org|Sep 17, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多変数正則関数の分離的正則関数に複素多様体上のクロス型領域における極性特異点をもつ関数の拡張定理を確立する。このような関数は、特異点集合が相対的閉な極性集合に写像される、特異点付きの正則包への正則的拡張を有し、自然な極性条件のもとで、一意性および最大性が保たれる。

ABSTRACT

Let $D_j\subset\mathbb C^{n_j}$ be a pseudoconvex domain and let $A_j\subset D_j$ be a locally pluriregular set, $j=1,...,N$. Put $$ X:=\bigcup_{j=1}^N A_1 imes... imes A_{j-1} imes D_j imes A_{j+1} imes... imes A_N. $$ Let $M\subset X$ be relatively closed. For any $j\in\{1,...,N\}$ let $Σ_j$ be the set of all $(z',z'')\in(A_1 imes... imes A_{j-1}) imes(A_{j+1} imes... imes A_N)$ such that the fiber $M_{(z',\cdot,z'')}:=\{z_j\in\mathbb C^{n_j}: (z',z_j,z'')\in M\}$ is not pluripolar. Assume that $Σ_1,...,Σ_N$ are pluripolar. Put ${multline*} X':=\bigcup_{j=1}^N\{(z',z_j,z'')\in(A_1 imes... imes A_{j-1}) imes D_j imes(A_{j+1} imes... imes A_N): (z',z'') otinΣ_j\}$. Then there exists a relatively closed pluripolar subset $\widetilde M\subset\widetilde X$ of the `envelope of holomorphy' $\widetilde X$ of $X$ such that: $\bullet$ $\widetilde M\cap X'\subset M$, $\bullet$ every function $f$ separately meromorphic on $X\setminus M$ extends to a (uniquely determined) function $\widetilde f$ meromorphic on $\widetilde X\setminus\widetilde M$, $\bullet$ if $f$ is separately holomorphic on $X\setminus M$, then $\widetilde f$ is holomorphic on $\widetilde X\setminus\widetilde M$, and $\bullet$ $\widetilde M$ is singular with respect to the family of all functions $\widetilde f$. oindent In the case where N=2, $M=\varnothing$, the above result may be strengthened.

研究の動機と目的

• クロス型領域に極性特異点をもつ分離的正則関数をより大きな領域へ拡張すること。
• このような関数の正則包の性質を極性特異点集合を用いて特徴づけること。
• 従来の分離的正則関数に関する結果を正則関数のケースへ一般化すること。
• すべてのこのような関数の族に関して、拡張の一意性および最大性を確立すること。
• 拡張領域における特異点集合が極性のまま保たれる条件を提供すること。

提案手法

• N重クロス $ X $ を、一つの成分が擬凸領域を動く一方で、他の成分が局所的極値正則集合にある積の和集合として定義する。
• 相対的極値の複素凸関数の等高線集合を用いて、正則包 $ \widehat{X} $ を定義する。
• 相対的閉な極性集合として、拡張された特異点集合 $ \widehat{M} \subset \widehat{X} $ を構成する。
• $ X' $ を、断面特異点が極性でない点の集合として定義し、拡張と整合性を持つように保証する。
• Rothsteinの定理を用いて、$ X' $ の点の近傍で局所的に正則関数を拡張する。
• 同一性の原理と重複する近傍を越えた解析接続を用いて、局所的拡張を $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 上のグローバルな正則関数に貼り合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極性特異点をもつクロス型領域上の分離的正則関数が、正則的または正則的に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 分離的正則関数に対して、正則包の構成における特異点集合はどのように振る舞うか？
• RQ3 極性的断面が拡張の一意性および最大性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 分離的正則関数に関する拡張結果を正則関数のケースに一般化できるか？
• RQ5 正則包における拡張された特異点集合 $ \widehat{M} $ の構造は何か？

主な発見

• 任意の $ X \setminus M $ 上の分離的正則関数は、正則包の相対的閉な極性部分集合 $ \widehat{M} $ を除く $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 上に一意に正則関数に拡張可能である。
• 拡張関数 $ \widehat{f} $ は $ X' \setminus M $ 上で元の関数 $ f $ と一致し、定義域の正則部分で一貫性が保たれる。
• 元の関数が分離的正則関数である場合、拡張 $ \widehat{f} $ は $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 上で正則関数である。正則性が保たれる。
• $ \widehat{M} $ はすべてのこのような拡張 $ \widehat{f} $ に対して特異点である。最大性を失わずに除去することはできない。
• 拡張は最大性の意味で、$ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ が $ X \setminus M $ の分離的正則関数に対する正則包であるという意味で最大である。
• 特別な場合 $ N=2 $、$ M=\varnothing $ では、結果が強化され、特異点集合が空集合であっても拡張が可能であることが示される。