[論文レビュー] An extensional Kleene realizability semantics for the Minimalist Foundation

Maria Emilia Maietti, Samuele Maschio|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、二段階型理論である最小主義基盤（MF）— 意思的レベル（mTT）と拡張的レベル（emTT）を備える — に対する拡張的クレーネ実現可能性意味論を提示する。ビーソンの実現可能性意味論を変更し、命題を証明無関係に解釈することで、著者たちは拡張型チューリング仮説（CT）を正当化しつつも、選択公理（AC）との不整合を避ける。これにより、emTTがCTと整合的であることが立証され、emTTの最適な実現可能性モデルであることが示された。

ABSTRACT

We build a Kleene realizability semantics for the two-level Minimalist Foundation MF, ideated by Maietti and Sambin in 2005 and completed by Maietti in 2009. Thanks to this semantics we prove that both levels of MF are consistent with the (Extended) formal Church Thesis CT. MF consists of two levels, an intensional one, called mTT and an extensional one, called emTT, based on versions of Martin-Löf's type theory. Thanks to the link between the two levels, it is enough to build a semantics for the intensional level to get one also for the extensional level. Hence here we just build a realizability semantics for the intensional level mTT. Such a semantics is a modification of the realizability semantics in Beeson 1985 for extensional first order Martin-Löf's type theory with one universe. So it is formalised in Feferman's classical arithmetic theory of inductive definitions. It is called extensional Kleene realizability semantics since it validates extensional equality of type-theoretic functions extFun, as in Beeson 1985. The main modification we perform on Beeson's semantics is to interpret propositions, which are defined primitively in MF, in a proof-irrelevant way. As a consequence, we gain the validity of CT. Recalling that extFun+ CT+ AC are inconsistent over arithmetics with finite types, we conclude that our semantics does not validate the full Axiom of Choice AC. On the contrary, Beeson's semantics does validate AC, being this a theorem of Martin-Löf's theory, but it does not validate CT. The semantics we present here appears to be the best Kleene realizability semantics for the extensional level emTT of MF. Indeed Beeson's semantics is not an option for emTT since the full AC added to it entails the excluded middle.

研究の動機と目的

• 拡張的関数の等価性を保ちつつ、拡張型チューリング仮説（CT）を正当化する最小主義基盤（MF）の実現可能性意味論を開発すること。
• 既存の実現可能性フレームワークを修正することで、emTTの拡張的レベルにおいてCTと選択公理（AC）の不適合性を解消すること。
• mTTに基づく実現可能性モデルにおける命題の証明無関係な解釈を活用することで、emTTの拡張的レベルがCTと整合的であることを示すこと。
• ビーソンの実現可能性意味論はACを正当化するが、排中律を含意するため、emTTには使用できないことの証明。
• extFun、CT、ACという論理的制約を満たす中で、emTTに対する最良の可能なクレーニー実現可能性モデルであることを確立すること。

提案手法

• 1つのユニバースを備えた拡張的マルティン・ローフ型理論におけるビーソンの実現可能性意味論を拡張し、命題を証明無関係に解釈するように修正すること。
• ペアノ算術と正の算術的作用素の不動点を含むフェーファーマンの古典的算術理論 $\widehat{ID_{1}}$ で意味論を形式化すること。
• mTT-集合をビーソンの意味論と同様に解釈するが、直感的論理結合子のクレーニー実現可能性の自明な商として命題を解釈すること。
• mTT-小サイズの命題のユニバースを、すべての小サイズの命題のコードを含む不動点の商として定義し、証明無関係性を保証すること。
• 証明無関係性と $\mathsf{HA}$ 上のクレーニー実現可能性を活用することで、拡張的関数等価性（extFun）と拡張型チューリング仮説（CT）を正当化すること。
• mTTにおけるemTTの解釈を用いて、mTTがCTと整合的であるという事実をemTTに移行することで、emTTにおけるCTの整合性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小主義基盤に対して、拡張的関数等価性を保ちつつ拡張型チューリング仮説（CT）を正当化する実現可能性意味論を構築可能か？
• RQ2 ACを正当化するが、なぜビーソンの実現可能性意味論は拡張的レベルのemTTには不適切なのか？
• RQ3 命題の解釈における証明無関係性は、ACを含意しないままCTの正当化を可能にするか？
• RQ4 extFun、CT、ACの不整合を避けるemTTの実現可能性モデルは存在するか？
• RQ5 $\widehat{ID_{1}}$ のような予言的古典的理論で形式化された実現可能性モデルを用いて、emTTがCTと整合的であることを確立できるか？

主な発見

• 提案された実現可能性意味論は、mTTおよびemTTの両方において拡張型チューリング仮説（CT）を正当化し、両者がCTと整合的であることを示している。
• この意味論は命題の解釈において証明無関係であるが、これはCTを正当化しつつACとの不整合を避けるために不可欠である。
• このモデルは一般型に対して完全な選択公理（AC）を正当化しない。なぜならACはemTTにおいて排中律を含意するため、その構成的性質と矛盾する。
• ビーソンの意味論はACを正当化するが、emTTに使用できない。なぜならemTTにACを追加すると排中律が導かれるため、構成的性質を損なう。
• このモデルはextFunを満たし、CTを正当化し、一般型に対してACを避けるため、論理的制約を満たす中でemTTに対する最適なモデルである。
• emTTがCTと整合的であることは、mTTにおけるemTTの解釈を用いて確立され、mTTがCTと整合的であるという事実がemTTに移行された。