[論文レビュー] An H1-BMO duality theory for semigroups of operators

Tao Mei|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般のσ-有限測度空間上の作用素の半群に対して、P. A. メイヤーの勾配形式と半群作用を用いて、ハーディー空間H₁とBMO空間を正方形関数によって定義する、抽象的なH₁-BMO双対性理論を確立する。主な貢献は、Γ₂ ≥ 0 条件と追加の正則性仮定の下で、絶対定数を用いた双対性不等式を示したことである。この理論は、幾何的またはカーネルに基づく構造に依存せずに、非可換な設定（例えば、半有限トレースを備えたフォン・ノイマン代数）へも拡張可能である。

ABSTRACT

Let (M,μ) be a sigma-finite measure space. Let (T_t) be a semigroup of positive preserving maps on (M,μ) with standard assumptions. We prove a H_1-BMO duality theory with assumptions only on T_t. The BMO is defined as spaces of functions f such that the L_\infty norm of sup_tT_t|f-T_tf|^2 is finite. The H1 is defined by square functions of P. A. Meyer's gradient form. Our argument does not rely on any geometric/metric structure of M nor on the kernel of the semigroups of operators. This abstract argument allows to extend our main results to the noncommutative setting, e.g. the case where L_\infty(M,μ) is replaced by von Neuman algebras with a semifinite trace. We also prove a Carleson embedding theorem for semigroups of operators.

研究の動機と目的

• 作用素の半群の内在的性質にのみ依存するH₁-BMO双対性理論の構築を目的とし、基礎となる空間の幾何的または距離的仮定に依存しないこと。
• ハートのカーネルの境界や特定の関数空間に依存しない、P. A. メイヤーの勾配形式と半群作用を用いたH₁およびBMO空間の定義。
• ステインの普遍的H^p理論をH₁-BMOの場合に一般化し、絶対定数を用いたH₁とBMOの双対性の確立。
• 測度空間の幾何的構造に依存しないように、フォン・ノイマン代数に代表される非可換設定への理論の拡張。
• 半群のためのカルレソン埋め込み定理の証明により、双対性結果を支援し、非可換調和解析への応用を可能にする。

提案手法

• BMO空間を半ノルム ‖f‖_BMO(T) = sup_t ‖T_t |f - T_t f|²‖_∞^{1/2} で定義し、bmo空間を ‖f‖_bmo(T) = sup_t ‖T_t |f|² - |T_t f|²‖_∞^{1/2} で定義する。
• Γ をメイヤーの carré du champ とすると、正方形関数 S_Γ(f) = (∫₀^∞ T_s Γ(T_s f) ds)^{1/2} および G_Γ(f) = (∫₀^∞ Γ(T_s f) ds)^{1/2} を用いて、H₁^S(T) および H₁^G(T) を定義する。
• Γ₂ ≥ 0 条件を用いて勾配形式を制御し、半群枠組みにおける正定値性と正則性を保証する。
• bmo(T) と L₁(M) の間の補間理論を適用し、最大作用素 M_t の有界性を用いて時間平均ノルムを制御する。
• 時間積分された半群作用とダイアディック分解を用いて、 tentspace ノルムを推定することで、半群のためのカルレソン埋め込み定理を証明する。
• 鍵となる不等式 τ(fg) ≤ c₁‖f‖_{H₁^S}^{1/2}‖f‖_{H₁^G}^{1/2}‖g‖_{bmo} ≤ c₂‖f‖_{H₁^S}‖g‖_{bmo} を用いて双対性を確立し、絶対定数 c₁, c₂ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素の半群に対して、(H₁^S(T))⁰ = bmo(T) が成り立つ条件は何か？
• RQ2 ノルム ‖·‖_BMO(T) と ‖·‖_bmo(T) が同値となるのはいつか？
• RQ3 H₁^S(T) = H₁^G(T) が成り立つのはいつか、すなわち2つのハーディー空間定義が同値となるのはいつか？
• RQ4 幾何的仮定なしに、H₁-BMO双対性をフォン・ノイマン代数のような非可換設定へ拡張できるか？
• RQ5 双対性および同値性の結果を保証するための、半群の最小限の正則性条件は何か？

主な発見

• Γ₂ ≥ 0 条件の下で、絶対定数 c₂ が半群や基礎となる空間に依存せず、不等式 τ(fg) ≤ c₂‖f‖_{H₁^S(T)}‖g‖_{bmo(T)} が成り立つ。
• 半群が追加の正則性条件（具体的には時間におけるホルダー連続性と、時間平均半群に対する一様L¹推定）を満たす場合、(H₁^S(T))⁰ = bmo(T) が成り立ち、ノルムが同値である。
• 同じ正則性仮定の下で、bmo(T) = BMO(T) および H₁^S(T) = H₁^G(T) が成り立ち、2つのBMOおよび2つのハーディー空間定義のノルム同値性が確立される。
• ノルム同値性における定数は、測度空間の幾何的構造に依存せず、正則性パラメータ c₃, c₄, r のみに依存する。
• 抽象的な定式化が半群構造とΓ₂条件にのみ依存するため、理論はフォン・ノイマン代数に半有限トレースを備えた非可換設定へも拡張可能である。
• 半群のためのカルレソン埋め込み定理が証明され、測度のtentspaceノルムが関数のL¹ノルムによって一様に制御されることを示している。