[論文レビュー] An HDG method for linear elasticity with strong symmetric stresses

Weifeng Qiu, Jiguang Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、一般の多面体メッシュ上での線形弾性問題に対して、強力な対称応力形式と特別な数値トレースを用いた、新しいハイブリッド可能不連続ガレルキン（HDG）法を提案する。スーパーコンバージェンスを示す数値トレースと要素毎のコーネィの不等式を活用することで、体積力のロックインを回避し、すべての変数において、変位の収束率が $k+1$、応力の収束率が $k$ という最適収束率を達成する。これは、ほぼ不可縮圧状態でも同様に成立する。

ABSTRACT

This paper presents a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity on general polyhedral meshes, based on a strong symmetric stress formulation. The key feature of this new HDG method is the use of a special form of the numerical trace of the stresses, which makes the error analysis different from the projection-based error analyzes used for most other HDG methods. For arbitrary polyhedral elements, we approximate the stress by using polynomials of degree k>=1 and the displacement by using polynomials of degree k+1. In contrast, to approximate the numerical trace of the displacement on the faces, we use polynomials of degree k only. This allows for a very efficient implementation of the method, since the numerical trace of the displacement is the only globally-coupled unknown, but does not degrade the convergence properties of the method. Indeed, we prove optimal orders of convergence for both the stresses and displacements on the elements. In the almost incompressible case, we show the error of the stress is also optimal in the standard L2-norm. These optimal results are possible thanks to a special superconvergence property of the numerical traces of the displacement, and thanks to the use of a crucial elementwise Korn's inequality. Several numerical results are presented to support our theoretical findings in the end.

研究の動機と目的

• 一般の多面体要素上での応力テンソルの強い対称性を強制する、線形弾性問題のハイブリッド可能不連続ガレルキン（HDG）法の開発。
• 体積力のロックインを回避し、ほぼ不可縮圧状態においても、変位および応力の両方で最適収束率を達成すること。
• 唯一のグローバルに結合する未知数として、変位の数値トレースのみを用いることで、グローバルに結合する自由度を最小限に抑えた方法の設計。
• スーパーコンバージェンス特性を示す数値トレースと要素毎のコーネィの不等式に基づく、標準的な射影に基づくHDG解析とは異なる厳密な誤差解析の確立。
• 本手法の多様なメッシュタイプおよび材料の不可縮圧度レベルにわたる頑健性と最適収束性の実証。

提案手法

• 各要素内で、応力に対して次数 $k \geq 1$ の不連続多項式近似、変位に対して次数 $k+1$ の不連続多項式近似を用いる。
• 変位の数値トレースを次数 $k$ の多項式で近似し、これにより唯一のグローバルに結合する未知数として機能させることで、効率的な解法手順を可能にする。
• 強い対称性を保証するとともに、標準的な射影に基づくHDG手法とは異なる一意な誤差解析フレームワークを可能にするために、応力の数値トレースの特別な形式を導入する。
• 歪みを応力で制御できるよう、重要な要素毎のコーネィの不等式に依存することで、最適な誤差境界を確立する。
• 数値フラックスを用いた混合弱形式に基づく変分的定式化を行い、グローバルシステムを数値トレースの未知数のみに縮退させる。
• 四面体、六面体、角柱要素を含む一般の多面体メッシュ上に実装され、単体的要素に制限されない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形弾性問題に対するハイブリッド可能不連続ガレルキン法は、一般の多面体メッシュ上でも、応力および変位の両方で最適収束率を達成できるか？
• RQ2 提案手法は、ポisson比が 0.5 に近づくほぼ不可縮圧状態においても、ロックインを回避するか？
• RQ3 変位のトレース近似を次数 $k$ に制限することで、グローバルに結合する自由度を削減し、最適収束を達成できるか？
• RQ4 標準的な射影に基づくHDG手法と比較して、特別な数値トレース定式化が誤差解析に与える影響は何か？
• RQ5 変位の数値トレースのスーパーコンバージェンス特性は、応力および変位場の最適収束を達成するために不可欠であるか？

主な発見

• エネルギーノルムにおいて、変位の収束次数が $k+1$、応力の収束次数が $k$ である最適収束率を達成し、ほぼ不可縮圧状態でも同様に成立する。
• ほぼ不可縮圧状態において、$L^2$-ノルムにおける応力の最適収束が証明され、本手法が体積力のロックインを回避することを確認した。
• 数値実験により、$k=1,2,3$ において、構造的および非構造的メッシュ上ですべてのケースで、変位の収束次数が $k+1$、応力の収束次数が $k$ である最適収束率が確認された。
• ポisson比が 0.49999 に達するまで収束履歴が安定かつ最適なままであり、ロックインを回避する挙動を示した。
• 変位の数値トレースのスーパーコンバージェンスが、応力および変位場の最適収束を達成するために不可欠であることが判明した。
• 四面体、六面体、角柱要素を含む一般の多面体メッシュ上でも、単体的要素に制限されず、最適収束性が維持された。