[論文レビュー] An hybrid system approach to nonlinear optimal control problems

Jean‐Guillaume Dumas, Aude Rondepierre|ArXiv.org|Feb 8, 2005

Advanced Control Systems Optimization参考文献 59被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複雑な非線形ダイナミクスを区分的アフィンモデルで近似することで、ハイブリッド最大原理を用いて解析的解法が可能な非線形最適制御のハイブリッドシステムアプローチを提案する。主な貢献は、アフィンフィードバック制御とスイッチング時刻検出を組み合わせた計算的に効率的なアルゴリズムであり、高次元系におけるグローバル構造的最適軌道を生成する。

ABSTRACT

We consider a nonlinear ordinary differential equation and want to control its behavior so that it reaches a target by minimizing a cost function. Our approach is to use hybrid systems to solve this problem: the complex dynamic is replaced by piecewise affine approximations which allow an analytical resolution. The sequence of affine models then forms a sequence of states of a hybrid automaton. Given a sequence of states, we introduce an hybrid approximation of the nonlinear controllable domain and propose a new algorithm computing a controllable, piecewise convex approximation. The same way the nonlinear optimal control problem is replaced by an hybrid piecewise affine one. Stating a hybrid maximum principle suitable to our hybrid model, we deduce the global structure of the hybrid optimal control steering the system to the target.

研究の動機と目的

• 限られた計算リソースの中で高次元非線形最適制御問題を解く課題に対処すること。
• 非線形ダイナミクスを解析可能な区分的アフィンモデルに簡略化するハイブリッドシステムフレームワークの構築。
• ハイブリッドオートマトン構造を用いて、非線形系の可制御集合の凸的で保証可能な近似を提供すること。
• 最適制御構造を特徴づけ、モード間のスイッチング時刻を計算するためのハイブリッド最大原理の確立。
• フィードバック制御則と離散モード間の軌道シミュレーションを通じて、最適制御問題の解析的解法の実現。

提案手法

• 状態・制御空間の多面体メッシュを用いて非線形ベクトル場 f(X,u) を近似し、ダイナミクスが区分的アフィンとなるセルに分割する：dX/dt = AX + Bu + c。
• メッシュの各セルに対応する離散モードを持つハイブリッドオートマトンを定義し、セル境界でモード遷移を可能にする。
• ハイブリッドハミルトニアンから導出された必要最適性条件を用いて、各モード内でのアフィンフィードバック制御を計算する。
• 制約なしのモード間遷移を許容し、境界を越えて共役状態が連続となるように保証するハイブリッド最大原理を適用する。
• アルゴリズム2を用いて反復的に極値軌道を計算する：状態および共役ダイナミクスを解き、セルからの抜ける時刻を検出し、次のモードの初期条件を更新する。
• ハミルトニアン条件を用いてスイッチング時刻を検出する：H_h > 0 が成立するとモード遷移が発生し、段階的モード遷移シミュレーションが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形最適制御問題を、精度と計算コストのバランスを考慮して区分的アフィンハイブリッドシステムで効果的に近似する方法は何か？
• RQ2 非線形系において区分的アフィンダイナミクス下で、可制御集合の保証付き凸近似とは何か？
• RQ3 複数のアフィンモードに跨る最適軌道のグローバル構造を捉えるために、ハイブリッド最大原理をどのように定式化できるか？
• RQ4 ハイブリッド最適制御フレームワークにおいて、モード遷移における共役状態の連続性を保証する条件は何か？
• RQ5 各モードにおけるアフィンフィードバック制御とスイッチング時刻検出を組み合わせることで、グローバル最適解が得られるか？

主な発見

• 提案されたハイブリッド近似により、メッシュ状態制御空間における区分的アフィンモデルへの置き換えによって、非線形最適制御問題の解析的解法が可能になる。
• 可制御集合の新たなアルゴリズムが、区分的凸下近似を計算し、真の可制御集合からの距離が有界であることを保証する。
• 可制御集合が凸である場合、近似は正確な下近似となるため、制御可能性の厳密な保証が得られる。
• ハイブリッド最大原理は、最適軌道のグローバル構造を的確に特徴づけ、最適制御が各モード内でアフィンフィードバックであることを示している。
• ハミルトニアンのモニタリングにより、事前の軌道構造の知識なしにスイッチング時刻を検出でき、正確な遷移追跡が可能である。
• ベンチマーク問題（非線形ばね、軌道転送）を用いた実験により、高次元設定下でも効率性と正確性が確認された。