[論文レビュー] An Icosahedral Quasicrystal as a Golden Modification of the Icosagrid and its Connection to the E8 Lattice

Fang Fang, Klee Irwin|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2015

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、10枚の平面からなる10面アイコサギルドにフィボナッチ間隔を適用することで構築された、イコサヘドラル対称性を持つ3次元准結晶であるフィボナッチ変換アイコサギルド准結晶を紹介する。この構造は、E8格子を介して4次元エルサ＝スローン准結晶と深い関係を示し、20個の黄金比回転を施した3次元スライスを埋め込み、イコサヘドラル秩序を持つ繰り返し現れる20正四面体クラスタを形成する。

ABSTRACT

We present an icosahedral quasicrystal as a modification of the icosagrid, a multigrid with 10 plane sets that are arranged with icosahedral symmetry. We use the Fibonacci chain to space the planes, thereby obtaining a quasicrystal with icosahedral symmetry. It has a surprising correlation to the Elser-Sloane quasicrystal, a 4D cut-and-project of the E8 lattice. We call this quasicrystal the Fibonacci modified icosagrid quasicrystal. We found that this structure totally embeds another quasicrystal that is a compound of 20 3D slices of the Elser-Sloane quasicrystal. The slices, which contain only regular tetrahedra, are put together by a certain golden ratio based rotation. Interesting 20-tetrahedron clusters arranged with the golden ratio based rotation appear repetitively in the structure. They are arranged with icosahedral symmetry. It turns out that this rotation is the dihedral angle of the 600-cell (the super-cell of the Elser-Sloane quasicrystal) and the angle between the tetrahedral facets in the E8 polytope known as the Gosset polytope.

研究の動機と目的

• フィボナッチ間隔を適用した修正マルチグリッド構造を用いて、イコサヘドラル対称性を持つ3次元准結晶を構築すること。
• カットアンドプロジェクション法を用いて、イコサヘドラル准結晶と4次元E8格子との関係を調査すること。
• 准結晶配列における黄金比に基づく回転対称性から生じる構造的モチーフを同定すること。
• 新規准結晶構造内に、エルサ＝スローン准結晶の20個の3次元スライスが埋め込まれていることを示すこと。

提案手法

• イコサヘドラル対称性を持つ10枚の平面からなるマルチグリッド（アイコサギルド）をベースフレームワークとして構築する。
• 平面にフィボナッチ鎖の間隔を適用し、長距離にわたる非周期的秩序を持つ准結晶構造を生成する。
• 4次元エルサ＝スローン准結晶からのスライスを射影によって得られた構造の埋め込みを分析する。
• 正四面体の側面に対する黄金比に基づく回転によって形成される繰り返し現れる20正四面体クラスタを同定する。
• 回転対称性と600胞体の二面角、およびE8格子内のゴッセットポリトープとの関係を明らかにする。
• 幾何学的およびトポロジカル解析を通じて、得られた准結晶のイコサヘドラル対称性と構造的一致性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィボナッチ間隔を適用した修正マルチグリッドから、イコサヘドラル対称性を持つ3次元准結晶をどのように構築できるか？
• RQ2 この新規准結晶と、E8格子から導かれる4次元エルサ＝スローン准結晶との間には、幾何学的・代数的どのような関係があるか？
• RQ3 20正四面体クラスタはどのようにして出現し、それらの配置を支配する回転対称性は何か？
• RQ4 黄金比は、エルサ＝スローン准結晶の3次元スライスの回転埋め込みにおいて、どのように機能するか？
• RQ5 600胞体の二面角は、正四面体クラスタ配置で観察される回転角と等価か？

主な発見

• フィボナッチ変換アイコサギルド准結晶は、10枚の平面からなるマルチグリッドにフィボナッチ間隔を適用することで、完全なイコサヘドラル対称性を示す。
• 構造は20個の3次元スライスを完全に埋め込み、それぞれのスライスには正四面体のみが含まれる。
• これらの埋め込みスライスは、黄金比に基づく回転によって配置されており、600胞体の二面角と一致する。
• 繰り返し現れる20正四面体クラスタはイコサヘドラル秩序を持つものであり、E8ゴッセットポリトープで観察される同じ黄金比回転によって安定化される。
• クラスタを結ぶ回転対称性は、ゴッセットポリトープにおける正四面体の側面間の角度に正確に一致する。
• 4次元射影を通じて、E8格子と幾何学的に整合するため、3次元准結晶とE8の間の新しい非周期的リンクを確立する。