[論文レビュー] An Ill Posed Cauchy Problem for a Hyperbolic System in Two Space Dimensions

Alberto Bressan|ArXiv.org|Feb 19, 2003

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 67

ひとこと要約

この論文は、2次元空間における双曲型系のコーシー問題が、1次元では正規性を保証する標準的仮定（リプシッツ連続なフラックスおよび有界でゼロでない初期データ）のもとでも、ill-posed である可能性を示す反例を構築している。ill-posed である原因は、スカラー保存則解における振動によって引き起こされるODE軌道の不連続な初期値依存性であり、これにより解再構成に必要な逆写像が無効になる。

ABSTRACT

The theory of weak solutions for nonlinear conservation laws is now well developed in the case of scalar equations [3] and for one-dimensional hyperbolic systems [1, 2]. For systems in several space dimensions, however, even the global existence of solutions to the Cauchy problem remains a challenging open question. In this note we construct a conterexample showing that, even for a simple class of hyperbolic systems, in two space dimensions the Cauchy problem can be ill posed.

研究の動機と目的

• 1次元空間における双曲型系の正規性が、標準的仮定のもとで2次元空間に拡張できるかを調査すること。
• このような系のコーシュー問題が高次元で正規性を失う条件を同定すること。
• リプシッツ連続なフラックスおよび有界で正の初期データのもとでも、2次元空間における解の一意性および連続的依存性が破綻する可能性を示すこと。

提案手法

• ρ = 1, 2, 3 で不連続な振る舞いを示す2次元空間における区分的アフィンでリプシッツ連続なフラックス関数 F(ρ) を構築する。
• f(ρ) が F(ρ) = f(ρ)ρ を満たすように定義し、系を u_t + ∑_α ∂/∂x_α (f(|u|) u_α) = 0 として定式化する。
• スカラー保存則 ρ_t + ∇·F(ρ) = 0 を、3つの異なるエントロピー弱解 ρ^♮ ≡ 3、ρ^♯ = 4 を動く長方形 Q で、ρ^♭ = 2 を動く長方形で解く。
• 各解 ρ に対して、ODE系 ẋ = f(ρ(t,x)) を解析し、軌道の追跡と逆写像 Φ^{-t} の存在性および正則性を評価する。
• ρ^♯ および ρ^♭ に対して、非ゼロの ρ を持つ動く長方形のため、フラックス f(ρ(t,x)) が不連続となり、流れマップに振動が生じることを示す。
• これらの振動により、ほとんどすべての x に対して逆写像 Φ^{-t} が正しく定義されないことが示され、解再構成手順が破綻することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元空間における双曲型系のコーシュー問題は、1次元で正規性を保証する仮定のもとでも正規性を保つことができるか？
• RQ2 ODEフローマップの正則性は、このような系における弱解の存在および一意性にどのような役割を果たすか？
• RQ3 1次元では機能するが、2次元では失敗する、スカラー保存則を解き、その後ODEで角成分を進めるという標準的手法がなぜ2次元で失敗するのか？
• RQ4 スカラー解 ρ(t,x) の振動が、特徴的写像 Φ^{-t} の可逆性にどのように影響するか？
• RQ5 有界 variation（BV）よりも強い初期データの正則性（例：L^∞ よりも強いもの）があれば、2次元での正規性が達成可能か？

主な発見

• 仮定 (A1) および (A2) のもとでは、2次元空間における双曲型系のコーシュー問題は不正規である。
• リプシッツ連続なフラックスおよび有界で正の初期データのもとでも、解写像が初期条件に対する連続的依存性を失う。
• スカラー解における非ゼロの ρ を持つ動く長方形のため、ODEベクトル場 f(ρ(t,x)) に振動が生じ、ほとんどすべての x に対して逆写像 Φ^{-t} が存在しない。
• 反例により、スカラー保存則を解き、その後ODEで角成分を進めるという標準的手法が2次元では破綻することが示された。
• 不正規性の原因はフラックスの特異性ではなく、スカラー解における不連続フラックスが引き起こすODEフローマップの正則性欠如にある。
• この結果から、2次元空間では L^∞ 初期データでは正規性が不十分であり、弱解の存在には BV 正則性が必要である可能性が示唆される。