[論文レビュー] An implementation of CAD in Maple utilising McCallum projection

Matthew England|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、マカラムのCADWアルゴリズムの完全な実装をMapleで提示し、区間を示す多項式を用いた彼の改良された射影作用素を活用して、順序不変な円柱代数的分解を生成する。これはCADWの唯一の完全な実装であり、Qepcadが無効化問題により失敗するような問題の解決を可能にし、特定の論理的問題における最小分解を求める特殊な応用をサポートする。

ABSTRACT

Cylindrical algebraic decomposition (CAD) is an important tool for the investigation of semi-algebraic sets. Originally introduced by Collins in the 1970s for use in quantifier elimination it has since found numerous applications within algebraic geometry and beyond. Following from his original work in 1988, McCallum presented an improved algorithm, CADW, which offered a huge increase in the practical utility of CAD. In 2009 a team based at the University of Western Ontario presented a new and quite separate algorithm for CAD, which was implemented and included in the computer algebra system Maple. As part of a wider project at Bath investigating CAD and its applications, Collins and McCallum's CAD algorithms have been implemented in Maple. This report details these implementations and compares them to Qepcad and the Ontario algorithm. The implementations were originally undertaken to facilitate research into the connections between the algorithms. However, the ability of the code to guarantee order-invariant output has led to its use in new research on CADs which are minimal for certain problems. In addition, the implementation described here is of interest as the only full implementation of CADW, (since Qepcad does not currently make use of McCallum's delineating polynomials), and hence can solve problems not admissible to other CAD implementations.

研究の動機と目的

• マカラムのCADWアルゴリズムをMapleに実装し、区間を示す多項式を用いた彼の改良された射影作用素の完全で動作するバージョンを提供すること。
• 異なるCAD計算手法（特に射影-リフト法と正規鎖法）の構造的・アルゴリズム的関係に関する研究を可能にすること。
• 特定の論理的問題における最小分解を必要とするような、順序不変CADを必要とする新規応用をサポートすること。
• Qepcadなどの既存ツールの制限を是正すること。これらはマカラムの区間を示す多項式を実装しておらず、特定の入力で失敗する可能性がある。
• 研究および実用的用途の両方を想定した、変数順序のカスタマイズと出力制御をサポートする、信頼性が高く拡張可能なMapleベースのCADフレームワークを提供すること。

提案手法

• 1988年のマカラムのCADWアルゴリズムをMapleに適応し、区間性理論と最小区間を示す多項式に基づく同じ射影作用素を使用する。
• ブラウンの最小区間を示す多項式を統合し、最終的なCAD出力における順序不変性を保証する。これは高度な応用にとって重要な特徴である。
• 変数順序、セル構築、各セル上のスタック形成をサポートする、完全な射影-リフトパイプラインをMapleに実装する。
• 出力タイプのユーザー制御を可能にし、入力多項式が厳密に要求しない場合でも、順序不変性を強制するオプションを提供する。
• ベンチマーク問題のセットを用いて、実装（PCAD）をQepcad（QCAD）およびRegularChainsベースのCAD（TCAD）と比較し、性能と正しさを評価する。
• リフト処理中の無効化（nullification）のケースに対処し、安全に続行可能な場合に限り、計算の中断を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マカラムのCADWアルゴリズムは、区間を示す多項式を用いて順序不変性を保証するように、Mapleで完全かつ正しく実装可能か？
• RQ2 Qepcadが無効化問題により失敗するが、新しいMaple実装のCADWは依然として成功するような問題は存在するか？
• RQ3 この実装の順序不変出力は、特定の論理的問題における最小CADのような新規応用をどの程度サポートするか？
• RQ4 Mapleベースの新しいCADW実装の性能は、QepcadおよびRegularChainsベースのCADと比較して、セル数と計算時間の観点でどの程度か？
• RQ5 この実装は、セル数を削減し効率を向上させるために、ブラウン-マカラム作用素のようなさらなる改良を統合できるか？

主な発見

• この実装は、Qepcadが彼の区間を示す多項式を実装していないため、マカラムのCADWアルゴリズムの唯一の完全で動作する実装である。
• ホイットニーのアーチボンとx軸上に位置する楕円問題において、Qepcadが無効化により失敗するのに対し、この実装は正常にCADを計算でき、その頑健性を示している。
• x軸上に位置する楕円問題では、Maple実装が20,225個のセルを生成したが、Qepcadは無効化のため失敗した。
• 順序不変性を強制した場合、例 $f = zy - x^2$ に対して正しく23個のセルを計算した。一方、符号不変モードでは21個のセルであった。
• 平均的にはQepcadはスピードとセル数の両面でこのMaple実装を上回るが、Qepcadが失敗する問題に対しては、このMapleバージョンが不可欠である。
• この実装は、区間を示す多項式の正しく処理と順序不変性の保証により、最近の研究で求められる特定問題の最小CADの生成をサポートする。