[論文レビュー] An implicit function theorem for Lipschitz mappings into metric spaces

Piotr Hajłasz, Scott Zimmerman|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間から任意の距離空間へのリプシッツ写像に対して、古典的なランク条件の代わりにハウスドルフ内容のプルバックの正の上位n密度を用いた、距離的陰関数定理を確立する。主な結果は、この条件下で、局所的に、同相写像とリプシッツ商写像を介して、写像が最初のn個の座標への射影に等しくなることである。これは、距離空間を被覆とする古典的なIFTの一般化である。

ABSTRACT

We prove a version of the implicit function theorem for Lipschitz mappings $f:\mathbb{R}^{n+m}\supset A o X$ into arbitrary metric spaces. As long as the pull-back of the Hausdorff content $\mathcal{H}_{\infty}^n$ by $f$ has positive upper $n$-density on a set of positive Lebesgue measure, then, there is a local diffeomorphism $G$ in $\mathbb{R}^{n+m}$ and a Lipschitz map $π:X o \mathbb{R}^n$ such that $π\circ f\circ G^{-1}$, when restricted to a certain subset of $A$ of positive measure, is a the orthogonal projection of $\mathbb{R}^{n+m}$ onto the first $n$-coordinates. This may be seen as a qualitative version of a similar result of Azzam and Schul. The main tool in our proof is the metric change of variables introduced in a paper of Hajlasz and Malekzadeh.

研究の動機と目的

• 微分可能性の仮定がない古典的陰関数定理を、任意の距離空間を値域とする写像へと拡張すること。特に、導関数のランク条件の代わりに、幾何的密度条件を用いること。
• 集合A上で $ \mathcal{H}_\infty^n $ のプルバックの正の上位n次元密度を持つとき、リプシッツ写像 $ f: \mathbb{R}^{n+m} \to X $ の構造的特徴づけを確立すること。
• このような写像が局所的に、双リプシッツ微分同相写像と $ \mathbb{R}^n $ へのリプシッツ射影写像を介して因数分解できることを示すこと。このとき、ファイバー構造と局所的双リプシッツ性が保たれる。
• $ \Theta^{*n}(f,x) > 0 $ が正の測度の集合上で成り立つことは、$ \mathcal{H}^n(f(A)) > 0 $ よりも厳密に強い条件であり、グローバルな双リプシッツ構造を保つために、後者に置き換えることはできないことの証明。

提案手法

• 主な道具は、先行研究で開発された距離的変数変換技術であり、これをリプシッツ写像によるハウスドルフ内容の挙動を分析するために適応した。
• 証明は、上位n次元密度 $ \Theta^{*n}(f,x) $ に依存しており、これは $ \mathcal{H}_\infty^n(f(B(x,r)\cap A)) / (\omega_n r^n) $ の上極限として定義される。これは一般化されたヤコビアンとして機能する。
• 重要なステップとして、$ \Theta^{*n}(f,x) > 0 $ であることは、小さな球内に正のn次元内容が存在することを意味し、これにより正の測度の集合 $ K \subset A $ 上で双リプシッツ $ C^1 $-微分同相写像 $ G $ の構成が可能になる。
• 構成により、$ \pi \circ f \circ G^{-1} $ が $ G(K) $ 上で最初のn座標への直交射影として作用することが保証される。ここで $ \pi: X \to \mathbb{R}^n $ は $ \sqrt{n} $-リプシッツである。
• 証明では定量的下界 $ \|x_1 - x_2\|_\infty \leq d(F(x_1,y), F(x_2,y)) $ を得ており、$ F = f \circ G^{-1} $ として、ファイバー上での単射性を保証する。
• 反例を構成することで、$ \Theta^{*n}(f,x) > 0 $ の条件を $ \mathcal{H}^n(f(A)) > 0 $ に弱めることが不可能であることが示され、この場合グローバルな双リプシッツ因数分解が失敗することが判明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的陰関数定理は、任意の距離空間を値域とする写像へと一般化可能か？
• RQ2 リプシッツ写像 $ f: \mathbb{R}^{n+m} \to X $ に対して、どのような幾何的条件が、局所的に双リプシッツ変数変換と $ \mathbb{R}^n $ への射影を通じて因数分解されることを保証するか？
• RQ3 微分可能性が存在しない状況において、上位n次元密度 $ \Theta^{*n}(f,x) $ はヤコビアン行列式の代わりにどのように機能するか？
• RQ4 正の測度の集合上で $ \Theta^{*n}(f,x) > 0 $ が成り立つことは、ファイバーの局所的双リプシッツ構造と射影挙動を保証するのに十分か？
• RQ5 $ \Theta^{*n}(f,x) > 0 $ の条件を $ \mathcal{H}^n(f(A)) > 0 $ に弱めても、グローバルな双リプシッツ因数分解を構成する能力を失うことはないか？

主な発見

• $ \Theta^{*n}(f,x) > 0 $ が正のレベーグ測度の集合上で成り立つならば、$ \mathcal{H}^n(f(A)) > 0 $ が成り立ち、画像が正のn次元内容を持つことが保証される。
• 正の測度の集合 $ K \subset A $、双リプシッツ $ C^1 $-微分同相写像 $ G $、および $ \sqrt{n} $-リプシッツ写像 $ \pi: X \to \mathbb{R}^n $ が存在し、$ \pi \circ f \circ G^{-1} $ が $ G(K) $ 上で最初のn座標への直交射影として作用する。
• $ f \circ G^{-1} $ の任意の点の逆像は、ファイバー $ \{x\} \times \mathbb{R}^m $ に含まれ、射影のファイバー構造が保たれる。
• $ f \circ G^{-1} $ の $ \mathbb{R}^n \times \{y\} $ 上への制限は双リプシッツであり、定量的下界 $ \|x_1 - x_2\|_\infty \leq d(F(x_1,y), F(x_2,y)) $ が成り立つ。
• $ \Theta^{*n}(f,x) > 0 $ の条件は $ \mathcal{H}^n(f(A)) > 0 $ よりも厳密に強い。反例により、後者はグローバルな双リプシッツ因数分解を保証しないことが示された。
• 任意の $ \mathcal{H}^n $-ほとんど everywhere な $ x \in X $ に対して、逆像 $ f^{-1}(x) $ は可算個の $ \mathcal{H}^m $-可縮可能集合の和集合として表され、これは主定理の帰結である。